金融危机中企业受波及的数学模型

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1、金融危机中企业受波及的数学模型曹桃云(广州科技贸易职业学院,广东广州510006)摘要:根据金融实际,对金融危机中企业受波及的数学模型进行了分析,建立了在金融危机中企业受到波及恢复正常后还有可能再次受到波及的一般情况的数学模型,即类似传染病中无免疫型的数学模型,并对模型进行了经济解释以及考虑金融危机中会有新的企业产生,企业由于其他的原因可引发破产倒闭的因素,对模型做了进一步的推广.关键词:金融危机;数学模型;波及中图分类号:O175.1文献标识码:A金融危机的发生及传播过程与传染病的发生及传播过程极其相似.谢德政等[1]首次利用传染病模型建立了金融危机中企业受到波及

2、后及时调整,恢复正常状态后不再受波及的数学模型,即类似传染病中的免疫型.通过对该模型的分析,他们得到了易受波及的企业数超过某个临界值c0时,金融危机才会蔓延这一结论.Anderson和May[2,3]给出了一类无免疫型传染病模型.考虑到潜伏期在疾病传播中的作用,闫萍等[4]改进了该模型,建立了一类具有潜伏期的无免疫型传染病动力学模型.本文在闫萍等模型及文献[5]的基础上,考虑到经济运行过程中受到金融危机波及的企业恢复正常后,还有可能再次受到波及这一因素,建立了在金融危机中企业受波及的无免疫型的数学模型.最后对模型做了进一步的推广.全文共分2个部分.第1部分为主要研究

3、结果,第2部分为结论.f3(t):在时刻t受到波及后倒闭的企业数.另外引进3个量:受到波及的企业数α=×1未受到波及和波及后恢复正常的企业数100%,称为波及率;波及后恢复正常的企业数×100%,称为解出率;α2=正受波及的企业数波及后倒闭的企业数α3=正受波及的企业数×100%,称为倒闭率.为研究方便,我们假定在所研究的区间内,没有新产生的企业和因其他原因引起的破产倒闭的企业,即假定ft+ft+ft为常数,记为a.3类企业之间的相互转化关系如下图:1()2()3()图1第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类企业之间的相互转化关系Theinterchangerelationsamongth

4、eenterprisesoftypesⅠ,ⅡandⅢFig.11主要研究结果1.2模型的建立1.1记号将金融危机中的企业分为3类:第Ⅰ类为未受波及或波及后恢复正常的企业;第Ⅱ类为正在受到波及的企业;第Ⅲ类为波及后倒闭的企业.记:f1(t):在时刻t暂未受到波及和受到波及后恢复正常的企业数;f2(t):在时刻t正在受到波及的企业数;df1(t)考虑函数ft的变化率:它可看作由三部分构1()dt成.第一部分是由于波及率α1使得有一部分企业由第Ⅰ类变化为第Ⅱ类,且变化的企业数与第Ⅱ类企业规模的大小成正比[2];第二部分是由于解出率α,使得有一部分企2业由第Ⅱ类变化为第Ⅰ类

5、.也就是说,在dt的时间间隔内,第Ⅰ类企业的个数平均减少了α1f1(t)f2(t),增加了收稿日期:2008-04-10;修回日期:2008-05-16作者简介:曹桃云(1968-),女,高级讲师,硕士,主要从事高等数学的教学与研究.29第4期曹桃云:金融危机中企业受波及的数学模型α2f2(t),即α3f′1(t)f′2(t)=-f′1(t)+=α1f1(t)-α2df1(t)=-α1f1(t)f2(t)+α2f2(t)(1)α3dtf′1(t)[-1].α1f1(t)-α2df2(t)考虑函数f2(t)的变化率:它可看作由3部分构注意到dt成.第一部分是由于波及率

6、α1使得有一部分企业由第Ⅰ类变化为第Ⅱ类,且变化的企业数与第Ⅱ类企业规模的大f′1(t)=-α1f1(t)f2(t)+α2f2(t)f2(t)[α2-α1f1(t)].=小成正比[2];第二部分是由于解出率α,使得有一部分企于是对于t[0,∞),存在t使得t[0,t,ft)单调递0)1(02减,f2(t)单调递增,即f′1(t)<0,f′2>0.由业由第Ⅱ类变化为第Ⅰ类;第三部分是由于倒闭率α3,使得有一部分企业由第Ⅱ类变化为第Ⅲ类.也就是说,在dt的时间间隔内,第Ⅱ类企业的个数平均增加了α1f1(t)f2(t),减少了α2f2(t)+α3f3(t),即α3f′2(

7、t)=f′1(t)[-1]>0,α1f1(t)-α2=f2(t)[α2-α1f1(t)]<0,f′1(t)可以解得df2(t)=α1f1(t)f2(t)-α2f2(t)-α3f2(t)(2)α2>+α3.dt[0,t),f(t)t01αdf3(t)1考虑函数f3(t)的变化率:它仅由一部分组成,αdt2.同理可解得当[t,∞),f(t)0,分两种情况讨()α1f1t-2α3论:①f′1(t)>