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时间:2018-05-10
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1、高数上册复习考试2009年12月15日第一章函数与极限一、函数1.认识一些常用函数和初等函数。2.求函数的自然定义域。二、极限1.极限的计算(1)善于恒等化简和极限的四则运算法则(2)常用的计算方法(a)常用极限,,,,(),(),=1()。(b)一些常用的处理方法(i)分子分母都除以n的最高次幂。例如:=,=39=(ii)根号差的消除。例如:-=,=(iii)指数函数的极限。=(。(iv)利用指数函数的极限。当=1时,===(v)转化为函数的极限可以用洛必达法则。=(vi)利用两边夹原理。把分别缩小、扩大一点点得简单的、,,使容易求得,则。(c)当用递归式给出时39(i)用
2、数学归纳法证明是单调有界的,从而存在;(ii)对的递归式两边取极限得关于的方程,再解出。(d)记得一些等价关系当=0时,~,~,~,~1-~,~,~,~(3)函数极限的计算(a)(2)中常用的计算方法对函数的六种极限都仍然适用。(b)如果已知在x0点连续,则=。(c)记得一些等价关系。(lim表示六种极限之一)当=0时,~,~,~,~1-~,~,~,~(d)(lim表示六种极限之一)当=1时,===(e)利用两边夹原理。把分别缩小、扩大一点点得简单的、,39,使容易求得,则。(f)不定式的极限(lim表示六种极限之一)(i)当极限是或型的不定式时,可用洛必达法则:=(洛必达法
3、则可以反复应用,但每次应用都要先检查类型。)(ii)对于0∞型的不定式,先变形,再用洛必达法则。====(iii)对于00、、∞0型的不定式。====(iv)对于∞-∞型的不定式,先计算成一个式子再计算。(g)如果,则。2.极限的证明(1)证明=A的格式证·,(打草稿从不等式解出(必要时将放大一点点得一个简单的,再从解出))(*)取。当时,(由正确推出(一般是(*)的倒推))39故=A。证明=A的格式证·,(打草稿从不等式解出(必要时将放大一点点得一个简单的,再从解出))(*)取。当时,(由正确推出(一般是(*)的倒推))故=A。(其它类型极限的证明格式完全类似。)(2)证明
4、存在但不管它是什么。用数学归纳法证明单调并且有界,再根据单调有界原理得出结论。三、连续性和间断点1.在点连续要证明在点连续就是要证明;如果是分段点,则要证明。2.间断点。(1)找间断点如果在的两边都有定义但没有定义,则是的间断点;分段函数的分段点可能是它的间断点。(2)间断点分类39(a)如果是的间断点并且和都存在,则是第一类间断点。(b)如果或至少有一个不存在,则是第二类间断点。(c)如果存在(即都存在),但没有定义或,则是可除间断点。重新定义可使变成连续点。3.闭区间上连续函数的性质(1)零点存在定理。(2)介值定理。(3)最值定理。39第一章导数与微分一、导数的计算1.
5、用定义计算导数当要求导的函数不是初等函数时,比如分段函数的分段点或函数没有具体表示式时,直接用定义计算它在点的导数。2.用求导公式计算导数当要求导的函数是初等函数时,用求导公式和复合函数求导法求导数。要记熟用熟相关公式。3.复合函数求导(1)一次复合如果,则(2)多次复合如果,则更多层次的复合函数的求导方法类推。4.隐函数求导39(1)一阶导数的求导步骤:(a)把看成的函数时,是一个恒等式;(b)用复合函数求导方法对恒等式两边对求导(求导时记得中有)得新的恒等式;(c)从解出=。(2)要求二阶导数时,有两种方法:(a)用复合函数求导方法恒等式两边对求导(求导时记得和中都有)得
6、新的恒等式,再从解出=,最后代入=得=。(b)用复合函数求导方法恒等式=两边对求导(求导时记得中有)得=,最后代入=得=。更高阶导数的求导方法类推。1.参数表示的函数求导(1)表示的函数在点的一阶导数(2)要求二阶导数时,可对表示的函数再次求导:39更高阶导数的求导方法类推。1.对数求导法)二、高阶导数1.常用函数的高阶导数其中。2.莱布尼茨公式与二项式公式完全类似。特别注意:当是低次多项式时,公式中的项数很少,非常简单。39三、微分的计算1.函数在点的微分2.当复合函数时,微分公式也是3.,否则不可微。四、可导、可微、连续的关系可导可微连续但连续的函数不一定可导、可微。例如
7、:y=
8、x
9、,x=0点。39第一章微分中值定理与导数的应用一、导数的意义是曲线在点切线的斜率;如果是路程函数,则是在时间时的速度;如果是速度函数,则是在时间时的加速度。二、中值定理1.费马定理如果是的极值点,并且存在,则=0,即是驻点。费马定理是中值定理的基础。2.罗尔定理条件:结论:至少存在一点使得=0。罗尔定理的三个条件,如果缺少一个,结论就得不到保证。例如:;=;=。3.拉格朗日中值定理条件:结论:至少存在一点使得=。39拉格朗日中值定理的两个条件,如果缺少一个,结论就得不到保证。例如:;=。如果
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