算法设计与分析学习提纲，第十四章下界

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1、第十四章下界14.1平凡下界平凡下界：用直观的方法就可以推导出来。例14.1检查个元素的整数数组中，其值为偶数的元素个数。需要对数组中的每一个元素进行判断和累计。对每一个元素进行判断需要时间，对个元素进行判断，就需要时间。因此，是求解这个问题的所有算法的下界。例14.2检查具有个顶点的有向图的可达性矩阵问题。个顶点的有向图的可达性矩阵是一个的矩阵，需要检查个元素，每检查一个元素至少需要时间，则检查个元素，至少需要时间。因此，是求解这个问题的所有算法的下界。1.4.2判定树模型一、判定树模型判定树是一棵二叉树：内部结点，

2、相应于形式为的比较。如果关系成立，则控制转移到左儿子结点；否则，控制转移到右儿子结点。叶子结点，表示问题的一个结果。二、用判定树模型建立问题的下界从根结点开始执行，根据比较操作的结果，将控制转移到它的儿子结点。上述过程一直进行，直到叶子结点为止判定树的高度与问题的时间复杂性有关忽略解题时的所有算术运算，只集中考虑分支执行时的转移次数。14.2.1检索问题一、检索问题：数组是一个具有个元素的有序数组，给定元素，确定是否在数组中。10二、用判定树模型来确定基于比较的检索问题的下界用二叉树表示数组的检索过程，树中的每个结点表

3、示元素和数组中某个元素的一次比较。每次比较有三种可能的结果：、、及。假定，如果，则算法检索成功而终止；如果，则算法的执行转移到二叉树的左分支；如果，则算法的执行转移到二叉树的右分支。算法的执行沿左右分支推进，直到叶子结点，若都找不到使的，，则算法检索失败而终止。因为检索过程是从根结点开始，直到叶结点为止的。因此，比较与判定的次数是树的高度加1。当被检索元素的个数为时，因为元素是有序的，判定树的内部结点至多为个，其中。如果所有结点都集中在树的第层及其较低的层上，那么，树的高度至少为，由此得到，检索个元素，在最坏情况下，至

4、少需要进行次比较。显然，这也是检索问题的下界。由此可以得到下面的定理：定理14.1检索具有个元素的有序数组，在最坏情况下的比较次数是。因此，检索问题的下界是，而二叉检索算法是检索问题中的最优算法。例如，，则二叉检索问题的判定树如图14.1所示：图14.1检索有序数组的判定树14.2.2排序问题一、基于比较的排序问题数组是一个具有个元素的无序数组，把数组按非增或非降顺序排序。二、用判定树模型来确定基于比较的排序问题的下界1、工作过程判定树的每一个内部结点表示一个判定，每一个叶子结点，表示一个输出。在每一个判定中，比较数组

5、中的两个元素和，如果，则控制转移到左分支结点；否则，控制转移到右分支结点。10从根结点开始，判定数组中某两个元素进行，根据判定的结果，转移到某个分支结点，又对数组中的某两个元素进行判定，如此进行，直到叶子结点为止，就得到一个有序的数组。图14.2表示对一个具有3个元素的数组进行排序的一种判定树。图14.2排序三个元素的一种判定树如果被排序的元素个数为，个元素有种排列，判定树中的叶子结点个数为个。2、判定树的高度引理14.1若是至少具有个叶子结点的二叉树，则的高度至少为：证明：令为二叉树的高度，第层的叶子结点数目至多为。

6、是至少具有个叶子结点，所以，有，即。因为由图14.3，有：图14.3计算的近似值10定理14.2任何基于比较的排序算法，对个元素进行排序时，在最坏情况下的时间下界为。14.3代数判定树模型代数判定树：使判定树内部结点能对个输入变量的多项式进行计算和比较判定，再根据判定的结果进行分支，用这种方式进行计算和判断所产生的判定树，称为代数判定树。14.3.1代数判定树模型及下界定理一、代数判定树模型1、代数判定树模型个输入变量的代数判定树是一棵二叉树：用如下形式的测试语句标记内部结点的语句：如果成立，则转移到左儿子结点；否则，

7、转移到右儿子结点。其中，是三个关系运算符中的任何一个。用答案或标记叶子结点的语句。2、阶代数判定树对某个，标记内部结点的语句，与其相关的多项式至多是阶多项式，3、线性代数判定树，或线性判定树。标记内部结点的所有语句，与其相关的所有多项式都是线性的，二、下界定理1、判定问题的成员点集是判定问题，是该判定问题的输入实例。的每一个输入实例，看成是维空间中的一点，则对维空间中的子集，如果，当且仅当问题对输入实例的答案为，则称为判定问题的成员点集。2、代数判定树判定中的成员把点作为输入参数，在代数判定树的根结点上开始计算，最终到

8、达代数判定树的叶子结点为，当且仅当，10称代数判定树判定中的成员。3、下界定理的引理。引理14.2令是由下面的阶多项式方程所定义的点集，：（14.3.1）令是在中所具有的连通分支个数，则。其中，：多项式方程中，最高阶多项式的阶数；：多项式方程中自变量的个数，即维空间中的维数；：多项式方程中不等式方程的个数。点集在中的连通分支个数，