数学物理方程陈磊

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1、8大庆师范学院物电学院课程论文学习《数学物理方程》的读书报告姓名：陈磊学号：200901071649专业：应用物理指导教师：何巍巍8大庆师范学院物电学院课程论文学习《数学物理方程》的读书报告陈磊大庆师范学院物理与电气信息工程学院摘要：数学物理方程主要是偏微分方程，热传导方程是最为典型的数学物理方程之一。为了对热传导方程有个清晰地理解，论文重新阐述了热传导方程的推导。同时，求解热传导方程的方法也有很多种，现在根据几种求解热传导方程的方法简单的分析一下数学物理方程。关键字：数学物理方程，热传导方程一前言数学物理方程是指在物理学

2、、力学、工程技术问题中得到的、反映客观世界物理量之间相互制约关系的一些偏微分方程。其中波动方程、热传导方程、拉普拉斯方程是最为典型的三个方程。在参考相关文献的基础上，本论文主要对热传导方程的应用做一个简要的介绍。物体温度分布不均匀，物体内部必然会产生热应力，热应力过于集中，物体就会产生裂变，从而破坏物体原有的形状和结构，工程技术中称此现象为热裂。在建造大坝时，混凝土释放的水化热使大坝的温度分布极不均匀；在浇铸铸件过程中，散热条件不同，会导致铸件各点间温度变化的梯度过大……。此外，还有好多可以产生热裂的现象。为有效防止热裂，

3、就必须清楚物体各点的温度分布情况。[1]二热传导方程的导出8大庆师范学院物电学院课程论文物理方程是实际上是寻求不同定解问题的解，而定解问题有定解条件和泛定方程组成。不同的物理问题可能得到同一类方程，但因定解条件不同，因而就可能得到不同的定界问题。（一）热传导方程泛定方程的推导[2]在三维空间中，考虑一均匀、各向同性的物体，物体内部由于温度分布不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象称为热传导。构建物体热传导物理模型时，我们必须基于两个方面。一是能量守恒定律：物体内部的热量增加等于通过物体的边界流入的热量与物体

4、内部的热源所产生的热量的总和，即：其中表示在时刻物体内部的热量，表示在时刻内通过边界流入物体的热量，表示在时刻内物体内部热源产生的热量。二是热传导傅里叶定理：考察某物体的热传导问题时，以函数表示物体在位置处及时刻的温度。在物体内任意取一个小的体积元，沿法向方向，物体在无穷小时段内，流过一个无穷小面积的热量与时间间隔热量通过的面积及温度沿方向的导数成正比，即：其中，称为物体在处的热传导系数，它应该取正值；称为温度的法向导数，它表示温度沿法向的方向的变化率；等式中的负号表示热量是由高温向低温流动，而温度梯度是由低温区指向高温区

5、，故热流方向总与温度梯度方向相反。在物体内任取一闭曲面，它所包围的区域记为，则在时间段内通过闭曲面流入的全部热量为：（1）8大庆师范学院物电学院课程论文若内有热源，其热源密度为，则在时间段内在区域内产生的热量为：（2）对内各点由时刻温度变化到时刻温度，共吸收热量：（3）其中，为物体各点的比热，是密度。对各向同性的均匀物体来说与都是常数。由能量守恒定律，因此就成立：（4）今假设函数关于变量，，有二阶连续导数，关于有一阶连续导数，则有：（5）所以：=（6）利用奥斯托洛格拉特斯基（奥氏）公式，可以把（1）式化为：（7）将（6）、

6、（7）式代入（4）式，可得：8大庆师范学院物电学院课程论文交换积分次序，可以得到所以，在物体各向同性假定条件下，、、为常数，若记、，则得：（8）称之为非齐次热传导方程，表示物体温度变化能力的指标，称导温系数。若物体内部无热源，即，则有：（9）若物体是一个薄片，上下底面不与周围介质进行热交换，则方程（9）变为：（10）若物体是细长的杆，侧面不与周围的介质进行热交换，垂直轴线的截面上各点温度分布相同，则方程（9）可化为：（11）（9）、（10）、（11）分别称为三维、二维、一维的热传导方程。（二）定解条件的提出从方程的导出过程

7、可以看出，热传导方程是热学规律的数学形式。具有相同常数、、8大庆师范学院物电学院课程论文，的物体，不管它的形状如何，所处的外界条件及起始的温度状况如何，它满足相同的方程。但要预测温度变化的状况，求出描绘温度变化的函数，不能只依赖于方程，还必须考察物体所处的外界状况及起始时的状况。描绘这些状况的数学条件分别称为边界条件和初始条件。显然，在起始温度相同而外界条件不同，或外界条件相同而起始温度不同时，描绘温度变化的函数都不会是相同的。1、初始条件定量地表达初始状态的式子称作为初始条件。物体热传导的初始条件是指在时，物体中温度的分

8、布，即：其中，为已知函数。2、边界条件一块烧红的铁放在冷水了要比放在热水里冷却得快，边界上的状况影响着边界内侧，内侧又影响着临近各点直至整个区域。因此，考察一个物理问题不能不考虑外界对它的影响。定量地描述边界状况的数学式子就是边界条件。（1）第一种边界条件已知物体与外界接触表面的温度，这种条件的数学表达