信号与线性系统题解 阎鸿森 第九章

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1、信号与线性系统题解阎鸿森第九章习题答案9.1如图P9.1所示，两个理想模拟滤波器级联和并联，其中是低通，截止频率为；是高通，截止频率为：(a)当>时，试证明，图P9.1(a)相当于一个理想带通滤波器，并确定其通带宽度。（b）当<时，试证明，图P9.1(b)相当于一个理想带阻滤波器，并确定阻带宽度。（c）如果按图P9.1联接的是两个数字滤波器（离散时间滤波器），情况会是如何？(a)（b）解：（a）是低通，截止频率为；是高通，截止频率为，当>时，故级联后的滤波器为理想带通滤波器，其通带宽度为：。（b）当<时，，故级联后的滤波器为带阻滤波器，阻带宽度为：（c）数字

2、滤波器结果与上类似。9.2图P9.2中的系统常用来从低通滤波器获得高通滤波器，反之亦然。(a)证明当是截止频率为的理想低通滤波器时，整个系统相当于一个理想高通滤波器。确定其截止频率，并粗略绘出其单位冲激响应。（b）如果是一个截止频率为的理想高通滤波器，证明整个系统相当于一个理想低通滤波器。并确定其截止频率。（c）如果把一个离散时间理想低通（或高通）滤波器按图P9.2联接，所组成的系统是理想的离散时间高通（或低通）滤波器吗？图P9.2解：（a）是低通滤波器，截止频率为整个系统的频率响应为：故整个系统为高通滤波器。其单位冲激响应为：其波形如图所示。（b）是高通滤

3、波器，截止频率为整个系统的频率响应为：故整个系统相当于一个理想低通滤波器，其截止频率为。（c）是。图9.39.3某模拟低通滤波器的幅频特性如图P9.3所示。试对下列每种相位特性，求出该滤波器的单位冲激响应并概略绘出其波形。（a）∢=0（b）∢=ΩT，其中T为常数（c）∢=解：（a）若∢=0，则有：波形如图所示：（b）若∢=ΩT,则有：（c)如∢=，则可视为如下的卷积：9.4若某离散时间理想低通滤波器的单位脉冲响应为，频率响应如图P9.4所示。另一个新的滤波器的单位脉冲响应为，且试确定并粗略画出新滤波器的频率特性。指出它属于哪一种滤波器（低通，高通，带通，带阻

4、）。121解：,其频谱如下所示,它是一个带阻滤波器。9.5在许多滤波问题中，人们总希望相位特性是零或者是线性的。对因果滤波器，实现零相位是不可能的。然而，在非实时要求的情况下，零相位过滤是可能的。如果要处理的序列是有限长的，是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应，且是一个具有任意相位特性的因果滤波器的单位脉冲响应，且为实序列，则可以通过以下两种方法实现对的零相位过滤。（a）按以下三步进行，如图P9.5(a)所示。（b）按以下三步进行，如图P9.5(b)所示。分别对以上两种方法求出从输入到输出的整个系统的系统函数，单位脉冲响应，并证明该系统具有零相位

5、特性。(1)(1)(2)(2)(3)(3)(a)(b)图P9.5解：（a）由图P9.5(a）可知：又的傅立叶变换为的傅立叶变换为又为实序列，则：故系统函数为：单位冲激响应为：，它具有零相位特性。(b）由图P9.5(b）可知：又为实序列，则：这表明复合滤波器具有零相位特性。故系统函数为：单位冲激响应为：。9.6频率选择性滤波器往往被用来分离两个加性信号。如果两个加性信号的频谱不重叠，则用滤波器就可达到目的。然而，当频谱有重叠时，把滤波器设计成从通带到阻带逐渐过渡的形状往往更为可取。本题旨在研究确定滤波器频率响应的一种方法，这种滤波器可以用来近似地分离频谱重叠的

6、信号。设是一个复合信号，。我们希望设计一个LTI滤波器，从中分离出，如图P9.6（a）所示。也就是说，滤波器的频率响应应使是对较好的近似。假定用作为与之间误差的度量，定义为其中和分别是和的傅立叶变换。（a）用，和表示。其中。（b）限定为实函数，因此。通过使对的导数为零，确定使误差为最小的。（c）证明：如果和不重叠，则（b）中的结果就变为一个理想滤波器。（d）如果与如图P9.6(b）所示，根据（b）的结果，确定并概略画出。1-220-1110(a)(b)图P9.6(a)由图p9.6(a)可得：故有：（b）=令：得：如果在某一个频率处有，则此时，从而有。对此频率

7、来说，可以取任意值。（c）如果和不重叠，则。设在区域为非零，在区域非零，则：当时，；当时，。在此情况下，具有如下特性：当时，；当时，；当时，可为任意值，当然可以规定为。由以上讨论可见，在与不重叠时，具有理想滤波器特性。-2-101210.5（d）根据图p9.6(b)和（b）的结果可得：9.7题9.6讨论了当两个信号的频谱有重叠时，为了从加性信号中分离出一个信号，选择连续时间滤波器频率特性的一种特殊准则。试对离散时间的情况，导出与题9.6（b）中所得结果相对应的结果。分别用，，，和代替题9.6中的，，，和有：假定为实函数，相应有：令，得：同样，如果在某一个频率

8、处有，则此时，从而有。对此频率来说，可以取任意值。9