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1、信号与线性系统题解阎鸿森第五章习题答案1.对下面离散时间周期信号，确定其离散时间傅立叶级数的系数。(a)(b),且以6为周期。(c),且以4为周期。(d),且以12为周期。(e)如图P5.1(a)所示。(f)如图P5.1(b)所示。(g)如图P5.1(c)所示。(h)如图P5.1(d)所示。（a）(b)(c)(d)解：(a),N=21若取，则有：(b)=,()(c),()==即：(d)==即：(e)=;(f)=,(g)=-,()(h),1.已知周期为8的离散时间信号具有如下傅立叶技术系数，试确定信号。(a)(b)如图P5.2(a)所示。(b)(d)如图P5.2
2、(b)所示。(a)（b）解：(a),,,即为所求周期信号。(b)()[n]=即为所求周期信号。(c)即为所求周期信号。(d),()()即为所求周期信号。1.如图x(n)是以N为周期的实信号，其傅立叶级数系数为，其中均为实数。(a)(b)(a)证明。进而推出与，与之间的关系。(a)证明当N为偶数时，是实数，是实数，。(b)证明x(n)能够表示为三角函数形式的傅立叶级数，即N为奇数时N为偶数时(c)若，其中,是的相角，证明三角函数形式的傅立叶级数也可以表示为如下形式：N为奇数时：N为偶数时：(d)如果P5.3所示信号x(n)和y(n)的三角函数形式傅立叶级数为：试
3、画出z(n)的图形解：(a)x[n]是实信号，而＝或写为令，则有，从而有，(b)当N为偶数时，为一整数。显然，是一个实数。(c)设,由傅立叶级数综合公式有。当N为奇数时，上式可写为：＝当N为偶数时，相应有＝＝(d)由(c)知，当时，有N为奇数时：＝N为偶数时：(e)而，分别如图PS5.3-1所示，因此y[n]如图PS5.3-2所示。PS5.3-1PS5.3-21.已知x(n)是以N为周期得序列，其傅立叶级数表示式为,试用表示下列信号得傅立叶级数系数(a)(b)(c)(d)设N为偶数(e)(假定N为奇数，此时该信号得周期为2N).(f)解：(a)(b)(c)(d
4、)(k=0,1,2,……..N-1)(e)(f)是以mN为周期的序列，＝＝1.(a)如果x(n)和y(n)都是以N为周期的，它们的傅立叶级数系数分别为，试推倒离散时间傅立叶级数的调制特性。即证明，其中(b)利用调制特性求下列信号的傅立叶级数表达式，其中x(n)的傅立叶级数系数的。1．2.(c)如果，y(n)的周期为12，且求x(n)y(n)的傅立叶级数表达式。解：a.===x[n]y[n]x[n]y[n]=,其中同样可以证明：b(i)得：其余=(ii)令，其中(c)x[n]=,,其余()()1.求下列信号的离散时间傅立叶变换:(a)(b)(c)(d))(e)(
5、f)(g)(h)(i)(j)(k)x(n)如图P5.6(a)所示。(l)x(n)如图P5.6(b)所示(m)x(n)如图P5.6(c)所示(n)x(n)如图P5.6(d)所示(a)(b)(c)(d)解：(a)(b)(c)=(d)(e)(f)令,则有：(g)=(h)=(i)如图PS5.5所示。(j)s(k)(l)(m)x[n]是以6为周期的序列，因此有(n)===1.已知离散时间信号的傅立叶变换为,求信号x(n).(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)如图P5.7(a)所示(h)如图P5.7(b)所示解：(a)(b)(c)如图PS5.7-1所示，在一个周期内
6、可表示为PS5.7-1(d)()===(e)(f)==(g)=(h)令＝，其中和如图PS5.15-2所示。＝＝＝＝8．已知如图P5.8(a)所示得周期信号，和分别是从中截取一个周期所得到得非周期信号，如图P5.8(b),(c)所示。(a)(b)(c)(a)求出得离散时间傅立叶级数得系数(b)分别求出和。在这里可以看到，由于截取一个周期时，截取得方式不同，因而所得到得非周期信号具有不同得傅立叶变换。(c)证明无论怎样截取，下列关系总是成立得：解：(a)==,,(b)=显然和不同。(c)由(a)与(b)可以看出。又＝9.如果是图P5.9所示信号x(n)的傅立叶变换
7、，不求出而完成下列计算。5.9a)求(b)求的相位。(c)求的值。(d)计算(e)计算和。解：(a),(b)x[n+2]是一个偶实序列，而偶实序列的频谱为偶实函数。即,其中是x[n+2]的相位频谱。(c)(d)(e)(i)由Parseval定理有(ii)10.确定图P5.10所示信号中哪些信号的傅立叶变换满足下列条件之一：(a)(b)(c)存在一个实数a，使得是实函数。(d)=0(e)解：满足(a)的有b，g。满足(b)的有d，e。满足（c）的有abedf。满足（d）的有d，b，e，f，g。满足（e）的有b，c，g11.如果P5.11(a)所示的是信号x(n)
8、的离散时间傅立叶变换，试用x（n）表示
