英德中学数学期末模拟考试题(答案）

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1、英德中学～高二数学选修（2-1）期末模拟考试题（答案）一、选择题（15×4=60分）题目123456789101112答案ABCDCDBACBDC二、填空题（4×4=16分）13、()14、必要充分15、16、7三、解答题（共74分）17、（12分）将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式，并写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。解：原命题：若一个数是正偶数，则这个数不是质数.（假命题）逆命题：若一个数不是质数，则这个数是正偶数.（假命题）否命题：若一个数不是正偶数，则这个数是质数.

2、（假命题）逆否命题：若一个数是质数，则这个数不是正偶数.（假命题）18、（12分）已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为。求抛物线的方程.解：依题意可设抛物线方程为：（a可正可负），与直线y=2x+1截得的弦为AB；则可设A（x1,y1）、B（x2,y2）联立得即：得：a=12或-4所以抛物线方程为或19、（12分）已知+=1的焦点F1、F2，在直线l：x+y－6=0上找一点M，求以F1、F2为焦点，通过点M且长轴最短的椭圆方程．解：由，得F1（2，0），F2（-2，0），

3、F1关于直线l的对称点F1/（6，4），连F1/F2交l于一点，即为所求的点M，∴2a=

4、MF1

5、+

6、MF2

7、=

8、F1/F2

9、=4，∴a=2，又c=2，∴b2=16，故所求椭圆方程为．12分）A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心.若BD=4，试求MN的长.解：连结AM并延长与BC相交于E，又连结AN并延长与CD相交于E，则E、F分别为BC及CD之中点.现在=====∴MN=

10、

11、=

12、

13、=BD=21、（12分）给定双曲线。过A（2，1）的直线与双曲线交于两点及，求线段的中点P的

14、轨迹方程．解：设，代入方程得，．两式相减得：。又设中点P（x,y），将，代入，当时得。又，代入得。当弦斜率不存在时，其中点P（2，0）的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是。22、（14分）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，在棱上，且，H为的中点，应用空间向量方法求解下列问题.（1）求证：;（2）求EF与所成的角的余弦;（3）求FH的长.(16分)解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则，（2），由（1）知故EF与所成角的余弦值为.（3）的中点，四、参考题23．（05广东卷）

15、（本小题满分14分）如图3所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=.F是线段PB上一点，，点E在线段AB上，且EF⊥PB.（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；（Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.（I）证明：∵∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。故PA⊥平面ABC又∵而故CF⊥PB,又已知EF⊥PB∴PB⊥平面CEF（II）由（I）知PB⊥CE,PA⊥平面ABC∴AB是PB在平

16、面ABC上的射影，故AB⊥CE在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC，EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。二面角B—CE—F的大小为24、（05广东卷）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图4所示）.（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.解：（

17、I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则…（1）∵OA⊥OB∴,即，……(2)又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得∴所以重心为G的轨迹方程为（II）由（I）得当且仅当即时，等号成立。所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；