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时间:2018-05-05
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1、英德中学~高二数学选修(2-1)期末模拟考试题(答案)一、选择题(15×4=60分)题目123456789101112答案ABCDCDBACBDC二、填空题(4×4=16分)13、()14、必要充分15、16、7三、解答题(共74分)17、(12分)将命题“正偶数不是质数”改写成“若则”的形式,并写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假。解:原命题:若一个数是正偶数,则这个数不是质数.(假命题)逆命题:若一个数不是质数,则这个数是正偶数.(假命题)否命题:若一个数不是正偶数,则这个数是质数.
2、(假命题)逆否命题:若一个数是质数,则这个数不是正偶数.(假命题)18、(12分)已知顶点在原点,焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为。求抛物线的方程.解:依题意可设抛物线方程为:(a可正可负),与直线y=2x+1截得的弦为AB;则可设A(x1,y1)、B(x2,y2)联立得即:得:a=12或-4所以抛物线方程为或19、(12分)已知+=1的焦点F1、F2,在直线l:x+y-6=0上找一点M,求以F1、F2为焦点,通过点M且长轴最短的椭圆方程.解:由,得F1(2,0),F2(-2,0),
3、F1关于直线l的对称点F1/(6,4),连F1/F2交l于一点,即为所求的点M,∴2a=
4、MF1
5、+
6、MF2
7、=
8、F1/F2
9、=4,∴a=2,又c=2,∴b2=16,故所求椭圆方程为.12分)A是△BCD所在平面外一点,M、N分别是△ABC和△ACD的重心.若BD=4,试求MN的长.解:连结AM并延长与BC相交于E,又连结AN并延长与CD相交于E,则E、F分别为BC及CD之中点.现在=====∴MN=
10、
11、=
12、
13、=BD=21、(12分)给定双曲线。过A(2,1)的直线与双曲线交于两点及,求线段的中点P的
14、轨迹方程.解:设,代入方程得,.两式相减得:。又设中点P(x,y),将,代入,当时得。又,代入得。当弦斜率不存在时,其中点P(2,0)的坐标也满足上述方程。因此所求轨迹方程是。22、(14分)在棱长为1的正方体中,分别是的中点,在棱上,且,H为的中点,应用空间向量方法求解下列问题.(1)求证:;(2)求EF与所成的角的余弦;(3)求FH的长.(16分)解:以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.则,(2),由(1)知故EF与所成角的余弦值为.(3)的中点,四、参考题23.(05广东卷)
15、(本小题满分14分)如图3所示,在四面体P—ABC中,已知PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=.F是线段PB上一点,,点E在线段AB上,且EF⊥PB.(Ⅰ)证明:PB⊥平面CEF;(Ⅱ)求二面角B—CE—F的大小.(I)证明:∵∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形,同理可证△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形,△PCB是以∠PCB为直角的直角三角形。故PA⊥平面ABC又∵而故CF⊥PB,又已知EF⊥PB∴PB⊥平面CEF(II)由(I)知PB⊥CE,PA⊥平面ABC∴AB是PB在平
16、面ABC上的射影,故AB⊥CE在平面PAB内,过F作FF1垂直AB交AB于F1,则FF1⊥平面ABC,EF1是EF在平面ABC上的射影,∴EF⊥EC故∠FEB是二面角B—CE—F的平面角。二面角B—CE—F的大小为24、(05广东卷)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO(如图4所示).(Ⅰ)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程;(Ⅱ)△AOB的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.解:(
17、I)设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则…(1)∵OA⊥OB∴,即,……(2)又点A,B在抛物线上,有,代入(2)化简得∴所以重心为G的轨迹方程为(II)由(I)得当且仅当即时,等号成立。所以△AOB的面积存在最小值,存在时求最小值1;
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