数学竞赛专题讲座---与函数有关的奥数训练试题

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1、与函数有关的中考题（奥校讲义）1．已知二次函数的图象与x轴交于A、B，C是线段AB的中点，M是抛物线上位于x轴上方的动点，且∠AMB为锐角，求MC的取值范围。2．已知抛物线不经过第三象限。（1）求和的取值范围；（2）若抛物线与x轴有交点，且顶点在正比例函数的图象上。求此抛物线的解析式。3．一次函数的图象和某二次函数图象的两个交点A、B恰好在坐标轴上，对称轴是直线，已知B，AB，求这两个函数的解析式。QPDCBA4．如图，在ABCD中，AB=5，AD=3，sinA=，P为AB上一个动点（P不与A、B重合），过P作

2、PQ∥AD交BD于Q，设AP的长为x，四边形QPBC的面积为y，求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围。5．为何值时，反比例函数的图象与一次函数的图象只有一个交点。6．已知反比例函数的图象与一次函数的图象都经过P。（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，顶点C、D在这个反比例函数的图象上，两底AD、BC与y轴平行，且A、B的横坐标分别为和，求的值。1．已知抛物线。（1）求证：无论为什么实数，抛物线恒经过x轴上一定点；（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A

3、、B两点，且满足。问：过A、B、C三点的圆与抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标。OO，xyDCBA2．如图：已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作一正三角形ABC，⊙O，为ΔABC的外接圆，与x轴交于点D。（1）求C点的坐标；求过D、O，、A三点的二次函数的解析式，并求该函数的最值。OxyDCBA3．如图：抛物线交x轴正方向于A、B两点，交y轴正方向于C点。过A、B、C三点作⊙D，若⊙D与y轴相切。（1）求满足的关系式；（2）设∠ACB=α，求tanα；（3

4、）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙D的位置关系，并证明。ABCDxyO4．如图：矩形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上，A、D在抛物线上，矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与x轴围成的区域里。（1）设点A的坐标为，试求矩形的周长p关于变量x的函数的解析式，并写出x的取值范围；（2）是否存在这样的矩形ABCD，它的周长p=9？试证明你的结论。yxOCBA1．如图：已知抛物线，x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C。（！）写出A、B、C各点的坐标（可用含的式子表示）；（2）若ΔABC的面积为15

5、，求此抛物线的解析式。（3）过点E作ED∥AC，在第一象限交抛物线于点D，求ED的函数的解析式，问四边形AEDC的形状并求其面积，证明你的结论。ABPOxA，，，’’B‘P‘y2．12．如图：已知抛物线和直线，它们的一个交点的纵坐标为4。（1）求此抛物线和直线的解析式。（2）如果直线与（1）中的抛物线交于A、B两个不同的点，和（1）中的直线交于点P，分别过A、B、P作x轴的垂线，垂足为A，、B，、P，，证明：；（3）在（2）中能否选取适当的的值，使得，如果能，求此时的值；如果不能，请说明理由。13.已知是大于2

6、的整数，设抛物线与x轴有两个交点，与y轴交于A点；直线经过抛物线的顶点M，并与抛物线交于B点（此时），与y轴交于C点。（1）求和的解析式；（2）求证：y轴与ABM的外接圆切于A；（2）若ΔABM的外接圆是⊙N，过C作⊙N的切线（切点为T）交x轴于S，连接NS，求证NS2=ST·SC。3-131CPxyONMDQ14．如图：抛物线的顶点为P，与x轴交于M、N两点（M在N的左边），ΔPMN的三个内角∠P、∠M、∠N所对的边是且若关于的方程有两个相等的实根。（！）试判定ΔPMN的形状；（2）当顶点P的坐标为（2，-1

7、），求抛物线的解析式。（1）设抛物线与y轴交于Q点，求证：直线将四边形MPNQ分成的两个图形的面积相等。15．已知：是ΔABC的∠A、∠B、∠C的对边，抛物线交x轴于两点M、N，y轴交于点P，其中点M的坐标是。（1）求证：ΔABC是直角三角形；（2）若ΔMNP的面积是ΔNOP的面积的3倍，①求cosC的值；②试判断ΔABC的三边长能否取一组适当的值，使以MN为直径的圆心恰好是抛物线的顶点？如能，求出这组值；如不能，说明理由。16．已知在x轴的正半轴上有A点，在y轴的正半轴上有B、C两点，且B在C的下方，BC的长

8、为2，把过A、B、C三点的圆记为⊙Q，∠BAC=∠α。ABCDQyxO（1）试判断x轴与⊙Q的位置关系；若在x轴的的正半轴上有P点，且P与A不重合，再判断∠α与∠BPC的大小（不需证明）；（2）若B点的坐标为（0，1）指出当x轴与⊙Q为何关系时，∠α最大？求出当∠α最大时，A点的坐标；（1）如图，，若⊙Q与x轴交于A、D两点，弦AD分⊙Q所成的劣弧与优弧的长度之比为1∶3，且Q点在直线