函数的应用举例·例题解析

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1、函数的应用举例·例题解析 1．几何问题类用函数思想解决几何(如平面几何、立体几何及解析析几何)问题，这是常常出现的数学本身的综合运用问题．【例1】如图2．9－1，一动点P自边长为1的正方形ABCD的顶点A出发，沿正方形的边界运动一周，再回到A点．若点P的路程为x，点P到顶点A的距离为y，求A、P两点间的距离y与点P的路程x之间的函数关系式．解(1)当点P在AB上，即0≤x≤1时，AP＝x，也就是y＝x．(2)当点P在BC边上，即1＜x≤2时，AB=1，AB＋BP＝x，BP＝x－1，根据勾股定理，得AP2＝AB2＋BP2(3)当点P在DC

2、边上，即2＜x≤3时，AD＝1，DP＝3－x．根据勾股定理，得AP2=AD2＋DP2．(4)当点P在AD边上，即3＜x≤4时，有y=AP＝4－x．∴所求的函数关系式为2．行程问题类【例2】已知，A、B两地相距150公里，某人开汽车以60公里/小时的速度从A地到达B地，在B地停留一小时后再以50公里/小时的速度返回A地，求汽车离开A地的距离x表示为时间t的函数．解根据题意：(1)汽车由A到B行驶t小时所走的距离x=60t，(0≤t≤2.5)(2)汽车在B地停留1小时，则B地到A地的距离x＝150(2.5＜x≤3.5)(3)由B地返回A地，

3、则B地到A地的距离x=150－50(t－3.5)＝325－50t(3.5＜x≤6.5)3．工程设计问题类工程设计问题是指运用数学知识对工程的定位、大小、采光等情况进行合理布局、计算的一类问题．【例3】要在墙上开一个上部为半圆，下部为矩形的窗户(如图2．9－2所示)，在窗框为定长l的条件下，要使窗户透光面积最大，窗户应具有怎样的尺寸？解设半圆的直径为x，矩形的高度为y，窗户透光面积为S，则面积最大．说明应用二次函数解实际问题，关键是设好适当的一个变量，建立目标函数．【例4】要使火车安全行驶，按规定，铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600米，

4、如果某段铁路两端相距156米，弧所对的圆心角小于180°，试确定圆弧弓形的高所允许的取值范围．解设园的半径为R，圆弧弓形高CD=x(m)．在Rt△BOD中，DB＝78，OD=B－x∴(R－x)2＋782=R2由题意知R≥600得x2－1＋6084≥0(x＞0)，解得x≤5.1或x≥1194.9(舍)∴圆弧弓形高的允许值范围是(0，5.1]．4．营销问题类这类问题是指在营销活动中，计算产品成本、利润(率)，确定销售价格．考虑销售活动的盈利、亏本等情况的一类问题．在营销问题中，应掌握有关计算公式：利润=销售价－进货价．【例5】将进货价为8元

5、的商品按每件10元售出，每天可销售，若每件售价涨价0.5元，其销售量就减少10件．问应将售价定为多少时，才能使所赚利润最大，并求出这个最大利润．解设每件售价提高x元，则每件得利润(2＋x)元，每天销售量变为(件，所获利润y=(2＋x)(=－－4)2＋7x=4时，即售价定为14元时，每天可获最大利润为75．单利问题类单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算．设本金为P元，每期利率为r，经过n期后，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1＋nR)．【例6】某人于1996年6月15日存入银行1000元整存整取定期一年储蓄，月息为9‰，求到期的本利

6、和为多少？解这里P=1000元，r=9‰，n＝12，由公式得S12＝P(1＋12r)＝1000×(1＋0.009×12)=1108元．答本利和为1108元．6．复利问题类复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息．设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1＋r)x．【例7】某企业计划发行企业债券，每张债券现值500元，按年利率6.5％的复利计息，问多少年后每张债券一次偿还本利和1000元？(参考lg2=0.3010，lg1.065＝0.0274)．解设n年后每张债券

7、一次偿还本利和1000元，由1000=500(1＋6.5％)n，解得n=lg2/lg1.065≈11．答后每张债券应一次偿还本利和1000元．7．函数模型类这个问题是指在问题中给出函数关系式，关系式中有的带有需确定的参数，这些参数需要根据问题的内容或性质来确定之后，然后使问题本身获解．【例8】某工厂今年1月、2月、3月生产某产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产品的月产量y与月份数x的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数y=abx＋c(其中a、b、c为常

8、数)，已知4月份该产品的产量为1.37万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好，并说明理由．解设二次函数y1＝f(x)=px2＋qx＋x(p≠0)∴y1=f(x)=－0.05x2＋0.35x＋0.7f(4)