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时间:2018-05-04
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1、江苏省海安、如皋高三上学期期中考试试卷(数学文)一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.函数的最小正周期是▲.2.设集合,A={2,3,5},B={1,4},则=▲.3.复数(i是虚数单位)的实部是▲.4.命题“”的否定是▲.5.若,则的最小值为▲.6.设a,b是两个非零实数,且a≠b,给出下列三个不等式:①;②;③其中恒成立的不等式是▲.(只要写出序号)7.若向量a,b满足
2、a
3、=1,
4、b
5、=2,且a与b的夹角为,则
6、a+b
7、=▲.8.在等比数列{an}中,a3a83a13=243,则的值为▲.
8、9.若函数在上是增函数,则m的取值范围是▲.10.某地区为了了解70~80岁老人的日平均睡眠时间(单位:h),随机选择了50位老人进行调查.下表是这50位老人日睡眠时间的频率分布表:在上述统计数据的分析中,一部分计算见算法流程图,则输出的S的值是▲.11.若正数a,b,c满足a2+2ab+4bc+2ca=16,则a+b+c的最小值是▲.12.设等差数列的前n项和为,若,则▲.13.设是定义在上的减函数,且对一切都成立,则a的取值范围是▲.14.设函数,则下列命题中正确命题的序号是▲.①当时,在R上有最大值;②函数
9、的图象关于点对称;③方程=0可能有4个实根;④当时,在R上无最大值;⑤一定存在实数a,使在上单调递减.【填空题答案】1.2 2.{6}3.4.5.6.② 7.8.39.10.6.4211.412.13.14.①③⑤二、解答题:本大题共6题,共90分.请在答题卡规定区域写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)ABCDD1A1B1C1如图,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,(1)求证:平面BC1D⊥平面A1ACC1;(2)求二面角C1—BD—C的正切值.【证明】(1)因为ABCD—A1B1C1
10、D1是正方体,所以AC⊥BD,A1A⊥平面ABCD,……………2分而平面ABCD,于是BD⊥A1A.………………4分因为AC、A1A平面A1ACC1,,所以BD⊥平面A1ACC1.……………6分因为平面BC1D,所以平面BC1D⊥平面A1ACC1.…………………………8分【解】(2)设AC与BD交于点O,连C1O.因为C1O、CO平面A1ACC1,而BD⊥平面A1ACC1,所以C1O⊥BD,CO⊥BD,于是是二面角C1—BD—C的平面角.………………………12分设正方体的棱长为a,所以CO.在Rt△C1OC中,故
11、二面角C1—BD—C的正切值为.………………………14分16.(本题满分14分)用3种不同颜色给图中3个矩形随机涂色,每个矩形只涂一种颜色.求:(1)3个矩形颜色都相同的概率;(2)3个矩形颜色都不同的概率.【解】本题的基本事件共有27个.因为对3个矩形涂色时,选用颜色是随机的,所以这27个基本事件是等可能的.…………………………4分(1)记“3个矩形颜色都相同”为事件A,显然事件A包含的基本事件有3个,于是 …………………………8分(2)记“3个矩形颜色都不相同”为事件B,假设三种颜色分别是a,b,c,则事件B
12、只有可能是abc;acb;bac;bca;cab;cba,共6个基本事件,于是 ………………………12分【答】3个矩形颜色都相同的概率为,3个矩形颜色都不同的概率为.………14分17.(本题满分14分)已知函数满足.(1)求常数c的值;(2)解不等式.【解】(1)由题意知013、ABC的面积为,且,向量和是共线向量.(1)求角C的大小;(2)求△ABC的三边长.【解】(1)因为向量和是共线向量,所以,…………………………2分即sinAcosB+cosAsinB-2sinCcosC=0,化简得sinC-2sinCcosC=0,即sinC(1-2cosC)=0.…………………………4分因为,所以sinC>0,从而,…………………………6分(2),于是AC.………………8分因为△ABC的面积为,所以,即,解得………………………11分在△ABC中,由余弦定理得所以………………………14分19.(14、本题满分16分)已知二次函数的图象经过点(0,1),其导函数,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)均在函数的图象上.(1)求数列{an}的通项公式an和;(2)设,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m.【解】(1)由题意,可设.因为函数的图象经过点(0,1),所以.而,所以a=3,b=-2.于是.…………………………3分因为点(n,Sn)
13、ABC的面积为,且,向量和是共线向量.(1)求角C的大小;(2)求△ABC的三边长.【解】(1)因为向量和是共线向量,所以,…………………………2分即sinAcosB+cosAsinB-2sinCcosC=0,化简得sinC-2sinCcosC=0,即sinC(1-2cosC)=0.…………………………4分因为,所以sinC>0,从而,…………………………6分(2),于是AC.………………8分因为△ABC的面积为,所以,即,解得………………………11分在△ABC中,由余弦定理得所以………………………14分19.(
14、本题满分16分)已知二次函数的图象经过点(0,1),其导函数,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)均在函数的图象上.(1)求数列{an}的通项公式an和;(2)设,Tn是数列{bn}的前n项和,求使得对所有都成立的最小正整数m.【解】(1)由题意,可设.因为函数的图象经过点(0,1),所以.而,所以a=3,b=-2.于是.…………………………3分因为点(n,Sn)
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