遗传平衡定律的数学分析及其应用

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1、遗传平衡定律的数学分析及其应用【摘要】　　提出关于遗传平衡定律的一种数学分析模式，并据此对等位基因频率进行实际的推算。【关键词】遗传平衡定律；数学分析；应用　　英国数学家哈代于1908年和德国医生温伯格于1909年分别证明，如果一个群体无限大，群体内的个体随机交配，没有突变发生，没有任何形式的选择压力，则群体中各种基因型的比例可以逐代保持不变，这就是遗传平衡定律或哈代温伯格定律［1］。　　根据这个定律可以知道，尽管显性基因有掩盖隐性基因的作用，但是各种基因型的比例保持平衡，所以隐性变异不会因此而逐渐消

2、失。等位基因频率的平方项，就是平衡的基因型频率。下面我们分别从一对等位基因和复等位基因的情形出发，应用数学方法分析群体中基因频率的变化，导出该定律，并通过实际应用加深对其理解。　　1遗传平衡定律的数学分析　　1.1一对等位基因的遗传平衡定律的数学推证　　设一对基因A和a在群体中的频率分别为p和q，即某基因A的配子出现的几率为P，a出现的几率为q。p和q都是0～l间的正数，而且p＋q＝l，群体雌雄分配是完全随机的。这样，群体中的基因型频率如表1所示：　　表1一对等位基因型频率计算（略）　　三种基因型的频率

3、应为:AAAaaaP22pqq2　　而且p2+2pq+q2=(p+q)2=1［2］　　这一代产生的配子，有A和a两种，其中基因型为AA的个体只产生配子A，基因型为aa的个体只产生配子a，基因型Aa的个体将产生半数配子A和半数配子a。　　所以，基因A的频率=p2+2pq2=p2+pq　　Θp+q=1　　∴p2+pq=p(p+q)=p　　同理，基因a的频率=q2+2pq2=q2+pq=q(p+q)=q。　　可见，基因频率没有改变，基因A的频率还是p，基因a的频率还是q。3种基因型AA、Aa和aa的频率也将保

4、持不变，以后代代如此，也就是使群体在遗传上保持平衡。　　1.2复等位基因的遗传平衡定律的数学推证　　仍然考虑一个无选择、无突变、无限大的随机交配群体。A1、A2、A3为群体某一基因座上的复等位基因，频率分别为p、q、r，则群体中的基因型频率如表2所示：　　表2复等位基因型频率计算（略）　　在《医学遗传学》［2］中给出了求复等位基因的基因型频率的原始公式为：　　1=p+q+r=(p+q+r)2=∑3i=1fAIfAI+∑i　　A1A1A2A2A3A3A1A2A1A3A2A3p2q2r22pq2pr2qr　

5、　而且p2+q2+r2+2pq+2pr+2qr=(p+q+r)2=1［2］　　　通过数学分析可以得出:　　等位基因A1的频率=p2+2pq2+2pr2=p2+pq+pr　　=p(p+q+r)=p　　　等位基因A2的频率=q2+2pq2+2qr2=q2+pq+qr　　=q(q+p+r)=q　　　等位基因A3的频率=r2+2pr2+2qr2=r2+pr+qr　　=r(r+p+q)=r　　可见，基因频率还是没有改变，基因A1的频率还是p，基因A2的频率还是q，基因A3的频率还是r，6种基因型A1A1、A2A2

6、、A3A3、A1A2、A1A3、A2A3的频率也将保持不变，故一旦达到遗传平衡后，等位基因频率和基因型频率均不再随世代发生改变。　　2遗传平衡定律的实际应用　　2.1一对等位基因的频率推算　　如果在一个已达到了遗传平衡的群体中，当一对基因A和a基因频率分别为p和q时，则AA的基因型频率为A基因频率的平方（p2），aa的基因型频率为a基因频率的平方(q2)，Aa基因型频率为2pq；同时AA，Aa及aa这3种基因型频率的比例关系为p2+2pq+q2=1。反过来符合这两个条件的，群体在遗传上也就达到平衡了。根

7、据这个定律可以通过调查某种遗传性状的表现型频率算出基因频率和基因型频率。　　例如某一遗传性状W的表型频率为0.008％，这一遗传性状是由隐性纯合子所决定的，求其杂合基因型的频率。　　　　W基因频率q=q2=0.00008=0.0089。　　　　p＝l-q，故p＝l-0.0089＝0.9911　　2pq=2×0.0089×0.9911=0.0176　　故W的杂合基因型频率为0.0176。　　2.2复等位基因的频率推算　　复等位基因的情况则稍为复杂，但也可以通过表现型频率推算出来。如ABO血型表现型有4种，

8、由3个复等位基因（IA，IB，i）所决定，如果调查10000人的血型，发现A型占41.72％，B型占8.58％，O型占46.68％，AB型占3.02％，如表3所示：　　表3ABO血型基因型频率计算（略）　　设IA频率为p，IB频率为q，i频率为r　　r=0.4668=0.683　　B型与O型频率相加恰是q2+2pr+r2=(q+r)2　　Θp+q+r=1,q+r=1-p　　∴(q+r)2=(1-p)2=+(和分别代表B型和O型的表现型频率）