高中数学奥赛辅导系列-集合与简易逻辑

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1、集合与简易逻辑一、基础知识：1.元素与集合：a∈A，bÏA2.集合与集合：AB，AÌB，AÍB，A∩B，A∪B，A，……3.差集：A－B＝{x

2、x∈A且xÏB}(部分资料上用“AB”表示)4.集合运算律：（略）5.n个元素的集合所有子集个数为：2n6.覆盖与划分：如果集合S＝S1∪S2∪……∪Sn，则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个覆盖；如果同时又有Si∩Sj＝φ(i≠j)，则S1、S2、……、Sn叫做集合S的一个划分．7.容斥原理：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－car

3、d(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)该结论可以推广到n个集合．8.命题与推理：简单命题与复合命题，逻辑关连词“或”、“且”、“非”的应用，逆命题、否命题、逆否命题及其真假性的判断9.充要条件：如果AÞB，则称A是B的充分条件，同时称B是A的必要条件10.数学悖论：对于命题p，如果p正确，则可以推导出“非p”，而如果p错误，又可以推导出p正确。也称“二难问题”。二、例题：1.已知集合A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1，3，x}，则这样的x的不同的值有()个A．1B．2C．3D．42.已知集合M中的元素都是自然数，且如果x∈M，则8－x

4、∈M，则满足这样条件的集合M的个数为()(注：自然数包括0)A．64B．32C．16D．83.求集合{x∈Z

5、≤2x＜32}的真子集个数．4.在1～1然数中，素数与合数各有多少个？5.已知M＝{a，a＋d，a＋2d}，N＝{a，aq，aq2}，且M＝N，求q的值．6.在数理化三科竞赛辅导中，高一10、11、12班参加数学辅导的有168人，参加物理辅导的有187人，参加化学辅导的有155人，数学、物理两科都参加的有139人，数学、化学两科都参加的有127人，物理、化学两科都参加的有135人，数理化三科都参加的有102人，问这三个班总共有多少人至少参加了一科的辅导？解：根据容斥原理，至少参加

6、一科辅导的学生人数为：168＋187＋155－139－127－135＋102＝2117.求证：任意n＋1个整数中，总有两个整数的差能被n整除。提示：利用余数构造n个集合，根据抽屉原理，至少有两个整数放在一个集合里，它们同余，它们的差一定能被n整除．1.证明：若购买超过17千克（整数千克）的粮食，只用3千克和10千克的粮票支付，而无需要找补。解：本题其实就是证明大于17的整数都能表示为3m＋10n的形式，其中m，n都是非负整数．注意到：大于17的整数可以写成3k，3k＋1，3k＋2(k≥6)的形式，而3k＋1＝3(k－3)＋10，3k＋2＝3(k－6)＋10×2，因此它们都能够表示成3m＋

7、10n的形式，其中m，n都是非负整数．2.设A是数集，满足若a∈A，则∈A，且1ÏA．⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素．⑵A能否为单元素集合？分别在实数集和复数集中进行讨论．⑶若a∈A，证明：1－∈A．解：⑴2∈AÞ－1∈AÞ∈AÞ2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即a2－a＋1＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集但该方程有两个虚数解：a＝i故在复数范围内，A可以是单元素集，A＝{i}或A＝{i}⑶a∈AÞ∈AÞ∈A，即1－∈A3.设S为集合{1，2，3，……，50}的一个子集，且S中任意两个元素之和不能被7整除，则S中元

8、素最多有多少个？将这50个数按照7的余数划分成7个集合A0={7，14，21，28，35，42，49}A1={1，8，15，22，29，36，43，50}A2={2，9，16，23，30，37，44}A3={3，10，17，24，31，38，45}A4={4，11，18，25，32，39，46}A5={5，12，19，26，33，40，47}A6={6，13，7，34，41，48}除去A0中的7个元素外，其余集合中的元素都不能被7整除，而且其余六个集合的每一个集合中任意两个元素之和也不能被7整除，但是，A1和A6、A2和A5、A3和A4中如果各取一个元素的话，这两个元素之和能够被7整除，

9、因此，所求集合中的元素可以这样构成：A0中取一个，然后在A1和A6、A2和A5、A3和A4每一组的两个集合中取一个集合中的所有元素，为了“最多”，必须取A1中的8个，然后可以取A2、A3中各7个元素，因此S中元素最多有1+8+7+7=23个4.已知集合A中有10个元素，且每个元素都是两位整数，证明：一定存在这样两个A的子集，它们中没有相同的元素，而它们的元素之和相等．解：这10个元素的总和S＜100×10＝1000而A的子集总共有2