高中数学奥赛系列辅导资料:集合(1)

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1、集合(一)  内容综述:  本讲先介绍了以下一些重要的概念:集合、子集、两集合相等、真子集、并集、交集、相对补集,然后介绍了著名的容斥原理,接着介绍了以下几个定律:零律、分配律、排中律、吸收律、补交转换律、德·摩根律。  然后通过6道例题分析了一部分集合题目的解题方法与技巧,同学们应在熟悉以上定义、定理、定律的基础上仔细分析例题材解法,争取可以独立解决训练题。  要点讲解:  §1.基本理论  除了课内知识外,我们补充以下知识  相对补集:称属于A而不属于B的全体元素,组成的集合为B对A的相对补集或差集,记作A-B。  容斥原理:以表示集合A中元素的数目,我们有  ,其中为n

2、个集合称为A的阶。  n阶集合的全部子集数目为。  A,B,C为三个集合,就有下面的定律。  (1)分配律  (2)零律  (3)排中律  (4)吸收律  (5)补交转换律  (6)德·摩根律的相对形式    例题分析:  例1:对集合{1,2,…,n}及其每一个非空了集,定义一个唯一确定的“交替和”如下:按照递减的次序重新排列该子集,然后交替地减或加后继的数所得的结果,例如,集合的“交替和”是9-6+4-2+1=6.的“交替和”是6-5=1,的交替和是2。那么,对于n=7。求所有子集的“交替和”的总和。  分析;n=7时,集合{7,6,5,4,3,2,1}的非空子集有个,虽

3、然子集数目有限,但是逐一计算各自的“交替和”再相加,计算量仍然巨大,但是,根据“交替和”的定义,容易看到集合{1,2,3,4,5,6,7}与{1,2,3,4,5,6}的“交替和”是7;可以想到把一个不含7的集和A与的“交替和”之和应为7。那么,我们也就很容易解决这个问题了。  解:集合{1,2,3,4,5,6,7}的子集中,除去{7}外还有个非空子集合,把这个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和,结组原则是设这是把结合为一组,显然,每组中,“交替和”之和应为7,共有组.所以,所有“交替和”之和应该为。  说明:我们在这道题的证明过程中用了这类题目最典型的解法。就是

4、“对应”的方法,“对应”的方法在解决相等的问题中应用得更多。  例2:设A={1,2,……,2n.},证明:A的任意n+1阶子集中,存在两个数,一个可被另一个整除。  分析:对于2n个数中取n+1个数,我们应该有一个直觉就是把这2n个数分成n组,每组都必然满足题目条件,那么由抽屉原则命题就解决了。  证明:前2n个自然数中,共有n个奇数。根据自然数的一种有用的表达形式;n=(2k-1)·2  (,L为非负整数)考查A的下列n个子集,    ……    容易看到:  考虑A中任意n+1个元素,根据抽屉原则知,至少有两个元素是上述n个集合中同一个集合中的元素,这两个数中,必有一个

5、可被另一个整除。  说明:把一个集合分成若干个两两不交的子集的并,也则分拆,这种分拆的方法在解决集合的问题时为常用方法之一。例3:某班对数学、物理、化学三科总评成绩统计如下:优秀的人数:数学21个,物理19个,化学20个,数学物理都优秀9人,物理化学都优秀7人。化学数学都优秀8人。这个班有5人任何一科都不优秀。那么确定这个班人数以及仅有一科优秀的三科分别有多少个人。  分析:自然地设A={数学总评优秀的人}  B={物理总评优秀的人}  C={化学总评优秀的人}  则已知

6、A

7、=21

8、B

9、=19

10、C

11、=20    这表明全班人数在41至48人之间。  仅数学优秀的人数是   

12、 可见仅数学优秀的人数在4至11人之间。  同理仅物理优秀的人数在3至10人之间。  同理仅化学优秀的人数在5至12人之间。  解:(略)。  说明:先将具体的实际生活中的问题数学化,然后根据数学理论来解决这个问题不仅是竞赛中常见情况,也是在未来学习中数学真正有用的地方。  例4:n元集合具有多少个不同的不交子集对?  分析:我们一般想法是对于一个子集,求出与它不交的子集个数,然后就可以求出总的子集对来了。  解:如果子集对是有序的,即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集,则第一个子集若是k个元素,第二个子集就由其余n-k个元素组成,可能的情况是种,而这时第一个集合的选取

13、的可能情况应为种,那么k从o变到n,总的情况可能就是。如果子集对是无序的,即两个子集相同但次序不同的子集对不认为不同,则对有序子集对中有一对是由两个空集组成,而对其它个有序对,每一对中交换两个子集的次序,得到的是同一个无序子集对,因此有个无序子集对,其中至少有一个子集非空,于是无序子集对的总数为  分析二:我们可以从元素的角度来思考问题。对一个元素来说,它有三种不同的选择,在第一个集合中,在第二个集合中,或者不在两个集合中。  解法二:在计算有序对的数目时,对每一个元素来说有三种可能:它或在第一个子集,

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