高考数学复习点拨 复数的妙用例说

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1、复数的妙用例说我们知道，复数虽然具有相对独立性，但复数的代数形式、几何意义却构建了代数与几何之间的“局域网”，它为我们提供了新的解题途径。本文举例说明，供同学们参考。l.利用复数求函数值域例1求函数(x∈R)的值域。解：(x∈R)　　　令z1＝(x＋)＋i，z2＝(x－)＋i，则f(x)＝

2、z1

3、－

4、z2

5、　　　因

6、

7、z1

8、－

9、z2

10、≤

11、z1－z2

12、＝1(*)　　又复数z1，z2在复平面上对应的点z1、z2在平行于实轴的直线y＝上，　　从而z1、z2和原点O不可能共线，即(*)式不能取等号。　　　　

13、则

14、

15、z1

16、－

17、z2

18、＜1，即所求函数的值域为(－1，1)点评：复数模的不等式

19、

20、z1

21、－

22、z2

23、≤

24、z1±z2

25、≤

26、z1

27、＋

28、z2

29、为我们解有关实数问题提供了模型，特别是解有关不等式极值问题较为方便，其中应注意取等号的条件：①当且仅当z1＝kz2(k＞0)时，

30、z1＋z2

31、＝

32、z1

33、＋

34、z2

35、，

36、z1－z2

37、＝

38、

39、z1

40、－

41、z2

42、；②当且仅当z1＝kz2(k＜0＝时，

43、z1＋z2

44、＝

45、

46、z1

47、－

48、z2

49、

50、，

51、z1－z2

52、＝

53、z1

54、＋

55、z2

56、。2.利用复数证明不等式例2设a、b、x、y都是实数，求证

57、：证明：设，则，则，则，则又由模的性质可知oyxQP点评：按常规无理不等式证明，此题是很难解决的。考虑式中五个根式都是复数的模，则利用模的性质来证明，问题就简单多了。3。利用复数解解析几何题例3椭圆和直线（）交于P、Q两点，求直线OP和OQ相互垂直的条件。解析：设P、Q两点在X轴上的坐标分别为，因P、Q在直线上，利用复数表示有，若要，知必须应为纯虚数。据其实部为零，有即：（1）再由得（2）代入（1）得（3）因（2）要有两个不同的实根，须判别式即（4）以上条件（3）（4）即为所求的条件。点评：解析几何

58、是数与形的“结合体”，而复数也具有几何形式，因此它们有着必然的联系。利用复数来解解几问题，给人以耳目一新的感觉。