高考数学复习点拨 直线斜率的求法

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1、直线斜率的求法直线的倾斜角和直线的斜率一样，都是刻画直线的倾斜程度的量，直线的倾斜角侧重于直观形象，直线的斜率则侧重于数量关系.直线的斜率为进一步研究直线奠定了基础，是后继内容（直线的位置关系、直线方程）展开的主线.特别是过两点的斜率公式的推导体现了数形结合的思想.因此我们必须熟练掌握求直线的斜率的各种方法与技巧.下面举例说明.一、根据倾斜角求斜率例1如图，菱形ABCD的∠ADC＝1求两条对角线AC与BD所在直线的斜率.分析：由于题目背景是几何图形，因此可根据菱形的边角关系先确定AC与BD的倾斜角，再利用公式k＝tanθ.解：∵在菱形ABCD

2、中，∠ADC＝1∴∠BAD＝60°，∠ABC＝1又∵菱形的对角线互相平分，∴∠BAC＝30°，∠DBA＝60°，∴∠DBx＝180°－∠DBA＝1∴kAC＝tan30°＝，kBD＝tan60°＝.点评：本题在解答的关键是根据直线与其它直线的位置关系(如平行、垂直、两直线的夹角关系等)，确定出所求直线的倾斜角，进而确定直线的斜率.二、利用两点斜率公式例2直线l沿y轴正方向平移a个单位（a≠0），再沿x轴的负方向平移a＋1单位，结果恰好与原直线l重合，求l的斜率.分析：由于直线是由点构成的，因此直线的平移变化可以通过点的平移来体现.因此，本题可以

3、采取在直线取点P，经过相应的平移后得到一个新点Q，它也在直线上，则直线l的斜率即为PQ的斜率.解：（1）设P(x,y)是l上任一点，按规则移动后，P点坐标为Q(x－a－1,y＋a)，∵Q也在l上，∴k＝＝–，点评：①本题解法利用点的移动去认识线的移动，体现了“整体”与“局部”间辩证关系在解题中的相互利用，同时要注意：点(x，y)沿x轴正向平移a个单位，再点沿轴正向移动a个单位，坐标由(x,y)变为(x＋a,y＋b)，本题还可用特殊点，并赋a为特殊值去解0.②直线过两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＝x2，y1≠y2时，倾斜角等于9

4、0°，不能利用两点的坐标斜率公式，此时，斜率不存在.三、利用三角变换公式例3已知M(－4，3)，N(2，15)，若直线l的倾斜角是直线MN倾斜角的两倍，求直线l的斜率.分析：利用过两点的斜率公式先求得直线MN的斜率，再利用二倍角公式可求得斜率.解：设直线MN的倾斜角为θ，则直线l的倾斜角为2θ，∵M(－4，3)，N(2，15)，∴kMN＝＝2，即tanθ＝2，∴tan2θ＝＝，即直线l的斜率为.点评：直线的倾斜角与三角有着密切的联系，在解题中相互补充.此类问题出现在处理两条直线的位置关系上.四、利用待定系数法例4如果直线l沿x轴负方向平移3个

5、单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，求直线l的斜率.分析：本题可以利用例2解法进行求解，即考虑抓住点的变化求解.除此之外，还可以考虑直线l的方程的变化，利用待定系数法，通过比较系数可得结果.解：设直线l的方程为y＝kx＋b，把直线左移3个单位，上移1个单位后直线方程为y－1＝k(x＋3)＋b，即y＝kx＋3k＋b＋1.∴由条件知，y＝kx＋3k＋b＋1与y＝kx＋b为同一直线的方程.比较系数得b＝3k＋b＋1，解得k＝－.点评：本题通过利用平移前与平移后的两个方程的同一性，进行相应系数的比较求得结果的.另外要注意曲线f(x，

6、y)＝0沿x正方向平移a年单位，沿y轴正方向移动b个单位，平移后的曲线方程为f(x－a，y＋b)＝0.