高中数学 关于界心与五心的距离知识分析

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1、关于界心与“心”的距离公式我们先约定：用、、、分别表示△ABC的边长和半周长；F、K、E、G、O、I、H、I1、I2、I3分别表示△ABC的费马点、界心、九点圆的圆心、重心、外心、内心、垂心及∠A、∠B、∠C内的旁心；m、n、r分别表示KA、KB、KC的长度。于是，我们有定理[1]设D、E分别为△ABC的边AC、AB（所在直线）上的点，BD与CE交于点Q，若，，则（1）特别地，当点P重合于三角形的界心K时，有，则=，=，代入公式（1）得△ABC的顶点A与界心K的距离为同理这就是计算三角形的顶点与它的界心的距离公式。定

2、理[2]设D、E分别为△ABC的边AC、AB（所在直线）上的点，BD与CE交于点Q，若，，点P为△ABC所在平面上任意一点，则：特别地，当点P重合于界心K时，有（2）这就是计算三角形的界心与这个三角形所在平面上任意一点的距离公式。因此，公式（2）中含有两个参数和，通过对参数的选取，分别计算出三角形的界心与“心”的距离。（1）如果点Q是△ABC的重心G，则==1，代入公式（2）得界心K与重心G的距离公式：（2）如果点Q为△ABC的内心，则=，=，代入公式（2）得界心K与内心I的距离为：。（3）如果点Q为△ABC的∠A内

3、的旁心I1，则，，代入公式（2）即得△ABC的∠A内的旁心I1与界心K的距离为：。同理：。（4）如果点Q为△ABC的垂心H，则对于非直角三角形有，，代入公式（2）即得△ABC的垂心H与界心K的距离为：。（5）如果点Q为△ABC的外心O，则对于非直角三角形有，，代入公式（2）即得△ABC的外心O与界心K的距离为：。（6）如果点Q为△ABC的九点圆的圆心E，则由文[3]知：点E为线段OH的中点，则在△KOH中由中线长度计算公式可得的距离公式。（7）如果点Q为△ABC的费马点F，则文[4]中已给出了的计算公式。由以上讨论知

4、：三角形的费马点到它的重心、内心、旁心、垂心、外心、九点圆的圆心以及界心的距离都可以用这个三角形的边长表示，并且它们的计算都可以统一于公式（2）。参考文献：[1]贺功保计算三角形顶点与“心”距离的统一公式湖南数学通讯1（1996）[2]布罗卡点[3]贺功保三角形的五心哈尔滨工业大学出版社（。3）[4]贺功保关于费马点与“心”的距离公式中学数学研究4（）