高考数学复习点拨 列分布列、求期望须“三思”

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1、列分布列、求期望须“三思”一、列分布列求概率是排列还是组合例1．一个袋中装有3个白球和2个黑球，它们大小相同，采用无放回的方式从袋中任取3球，取到黑球的数目用ξ表示，求随机变量ξ的概率分布。解：ξ可能取的值为0，1，2。“ξ=0”表示“取出的3个球都是白球”的事件，所以P（ξ=0）=。“ξ=1”表示“恰好取到1个黑球”的事件，所以P（ξ=1）=。“ξ=2”表示“恰好取到2个黑球”的事件，所以P（ξ=2）=。综上所述，得ξ的概率分布列为：ξ012P1/103/53/10例2．一盒中有9个正品，3个废品，每次取一个产品，

2、取出后不再放回，在取得正品前已取出的废品数为ξ，求随机变量ξ的数学期望。解：ξ可能取0，1，2，3。“ξ=0”表示“取出的第一个产品就为正品”的事件，所以P（ξ=0）=。“ξ=1”表示“取出的第一个为废品，第二个为正品”的事件，所以P（ξ=1）=。“ξ=2”表示“前两个取出的为废品，第三个为正品”的事件，所以P（ξ=2）=。“ξ=3”表示“前面取出的3个全为废品，第四个为正品”的事件，所以P（ξ=3）=。得ξ的期望Eξ=+2·+3·=0.3。点评：题目中出现“在取得正品（次品）前”或“直到首次（最后一次）取到”字样，

3、应看成排列。二、思ξ取值的可行性例3.已知6只电器元件,其中2只次品和4只正品,每次随机抽取一只测试,不放回,直到2只次品都找到为止,且最后一只次品恰好在最后一次测试中被发现,设需要测试的次数为ξ，求ξ的数学期望。解：ξ的取值为2，3，4，5，6。“ξ=2”表示“取出的两个都是次品”的事件，所以P（ξ=2）=。“ξ=3”表示“第三次取出的是次品，前两次中一个次品一个正品”的事件，所以P（ξ=3）=。“ξ=4”表示“第四次取出的是次品，前三次中一个次品两个正品”的事件，所以P（ξ=4）==。“ξ=5”表示“第五次取出的

4、是次品，前四次中一个次品三个正品”的事件，所以P（ξ=5）==。“ξ=6”表示“第6次取出的是次品，前五次中一个次品四个正品”的事件，所以P（ξ=6）==。所以，Eξ=2×+3×+4×+5×+6×=。例4.已知6只电器元件，其中2只次品和4只正品，每次随机抽取一只测试，不放回,直到2只次品都找到为止,设需要测试的次数为ξ，求ξ的数学期望。解：ξ的取值为2，3，4，5。“ξ=2”表示“取出的两个都是次品”的事件，所以P（ξ=2）=。“ξ=3”表示“第三次取出的是次品，前两次中一个次品一个正品”的事件，所以P（ξ=3）=

5、。“ξ=4”表示“第四次取出的是次品，前三次中一个次品两个正品；或前四次全为正品”的事件，所以P（ξ=4）==。“ξ=5”表示“前四次中一个次品三个正品，第五次取出的是次品或正品”的事件，所以P（ξ=5）==。所以，Eξ=2×+3×+4×+5×=。点评：这里ξ=4，5都有两种情况。若最后一次抽取为次品同例3，最后一次抽取为正品，剩余元件可确定为次品也可，这是易错点。三、思事件的类型例5.在一袋中装有一只红球和九只白球,每次从袋中任取一球,取后放回,直到取得红球为止,求取球次数ξ的分布列。解：ξ的所有可能取值为：1，2

6、，3，…n，…，且ξ服从几何分布。令Ak表示第k次取得红球，则由于各次取球相互独立，且取到红球的概率为P=0.1，于是得：P(ξ=1)=P(A1)=P=0.1，P(ξ=2)=P(1·A2)=P(1)·(A2)=0.9×0.1，……P(ξ=k)=P(1·2·…k-1·Ak)=P(1)·P(2)…·P(k-1)·P(Ak)=(1-p)(1-p)…(1-p)p=0.9×0.9×0.9×…0.9×0.1=0.9k-1×0.1。因此，分布列为。ξ123……k……p0.10.9×0.10.92×0.1……0.9k-1×0.1……

7、例6．对一批产品进行检查，每次任取一件产品，检查后放回再任取一件产品，如此继续进行。如果发现次品，则认为这批产品不合格，立即停止检查；如果连续取出五件产品都是合格产品，则认为这批产品合格也停止检查，若每批产品的次品率为0.2，求平均每批要抽查多少件？解：设每批产品要检查的件数为ξ，ξ为一随机变量，由题意，其可能取值为1，2，3，4，5。前k-1次取出正品而第k次取出次品的概率P（ξ=k）=0.8k-1×0.2，(k=1，2，3，4)；需要抽查5次即前4次取出的都是正品的概率P（ξ=5）=0.84，由此可得ξ的概率分布

8、如下：ξ12345P0．20．81×0.20.82×0.20.83×0.20.84可得ξ的期望Eξ=1×0.2+2×0.2×0.81+3×0.2×0.82+4×0.2×0.83+5×0.84=3.3616。点评：例6中取1，2，3，4，时符合几何分布，而为5时，表示前4次为正品，第5次是次品、正品皆可，所以P（ξ=5）=0.84×（0.8+0.