高考数学 专题练习 二十三 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 理

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1、高考专题训练二十三　函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题班级_______　姓名_______　时间：45分钟　分值：72分　总得分________1．(12分)(·成都市高中毕业班第二次诊断性检测)设△ABC的三内角A、B、C所对应的边长分别为a、b、c，平面向量m＝(cosA，cosC)，n＝(c，a)，p＝(2b,0)，且m·(n－p)＝0.(1)求角A的大小；(2)当

2、x

3、≤A时，求函数f(x)＝sinxcosx＋sinxsin的值域．解：(1)m·(n－p)＝(cosA，cosC)·(c－2b，a)＝(c－2b)cosA＋acosC＝0⇒(sinC－2sin

4、B)cosA＋sinAcosC＝0⇒－2sinBcosA＋sinB＝0.∵sinB≠0，∴cosA＝⇒A＝.(2)f(x)＝sinxcosx＋sinxsin＝sinxcosx＋sin2x＝sin2x＋·＝＋sin2x－cos2x＝＋sin.∵

5、x

6、≤A，A＝，∴－≤x≤⇒－π≤2x－≤.∴－1≤sin≤⇒≤＋sin≤.∴函数f(x)的值域为[，]．2．(12分)(·正定)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF＝2，EF∥AB，EF⊥FB，∠BFC＝90°，BF＝FC，H为BC的中点．(1)求证：FH∥平面EDB；(2)求证：AC⊥平面EDB；(3

7、)求四面体B—DEF的体积．分析：本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直、体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力．解：(1)证明：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点．连接EG、GH，由于H为BC的中点，故GH綊AB.又EF綊AB，∴EF綊GH，∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH，而EG⊂平面EDB，∴FH∥平面EDB.(2)证明：由四边形ABCD为正方形，有AB⊥BC.又EF∥AB，∴EF⊥BC.而EF⊥FB，∴EF⊥平面BFC，∴EF⊥FH，∴AB⊥FH.又BF＝FC，H为BC的中点，∴FH⊥BC.∴FH⊥平面ABCD.∴FH⊥AC.又FH

8、∥EG，∴AC⊥EG.又AC⊥BD，EG∩BD＝G，∴AC⊥平面EDB.(3)∵EF⊥FB，∠BFC＝90°，∴BF⊥平面CDEF.∴BF为四面体B－DEF的高．∵BC＝AB＝2，∴BF＝FC＝.又EF＝1，∴VB－DEF＝××1××＝.3．(12分)(·预测题)小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对，可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价值分别为1000元，3000元，6000元的奖品(不重复得奖)，小王对三关中每个问题回答正确的概率依次为，，，且每个问题回答正确与否相互独立．(1

9、)求小王过第一关但未过第二关的概率；(2)用X表示小王所获得奖品的价值，写出X的概率分布列，并求X的数学期望．解：(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为P1，则P1＝2＝.(2)X的取值为0,1000,3000,6000，则P(X＝0)＝＋×＝，P(X＝1000)＝2＝，P(X＝3000)＝22＝，P(X＝6000)＝22＝，∴X的概率分布列为X0100030006000P∴X的数学期望E(X)＝0×＋1000×＋3000×＋6000×＝2160.4．(12分)(·天津卷)已知a>0，函数f(x)＝lnx－ax2，x>0.(f(x)的图象连续不断)(1)求f(x)的单调区

10、间；(2)当a＝时，证明：存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f；(3)若存在均属于区间[1,3]的α，β，且β－α≥1，使f(α)＝f(β)，证明：≤a≤.分析：本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力、分类讨论的思想、分析解决问题的能力．解：(1)f′(x)＝－2ax＝，x∈(0，＋∞)．令f′(x)＝0，解得x＝.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：xf′(x)＋0－f(x)极大值所以，f(x)的单调递增区间是，f(x)的单调递减区间是.(2)证明：当a＝时，f(x)＝lnx－x2，由(1

11、)知f(x)在(0,2)内单调递增，在(2，＋∞)内单调递减．令g(x)＝f(x)－f.由于f(x)在(0,2)内单调递增，故f(2)>f，即g(2)>0.取x′＝e>2，则g(x′)＝<0.所以存在x0∈(2，x′)，使g(x0)＝0，即存在x0∈(2，＋∞)，使f(x0)＝f.(说明：x′的取法不唯一，只要满足x′>2，且g(x′)<0即可．)(3)证明：由f(α)＝f(β)及(1)的结论知α<<β，从而f(x)在[α，β]上的最小值为f(α)，又由β－α≥1，α，β∈[1,3]，知1≤α≤2≤β≤3.故即从而