高考数学 专题练习 二十一 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题 文

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1、高考专题训练二十一　函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题班级_______　姓名_______　时间：45分钟　分值：80分　总得分_______1．(·湖北卷)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当≤，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小

2、时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)分析：本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力．解：(1)由题意：当0≤x≤v(x)＝60；当≤，设v(x)＝ax＋b，再由已知得解得故函数v(x)的表达式为v(x)＝(2)依题意并由(1)可得f(x)＝当0≤x≤f(x)为增函数，故当x＝其最大值为60×当≤，f(x)＝x(x)≤2＝，当且仅当x＝x，即x＝100时，等号成立．所以，当x＝100时，f(x)在区间[00]上取得最大值.综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,上取得最大值≈3333，即当车流密度为100辆/千米时，

3、车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．2．(·广东卷)设b>0，数列{an}满足a1＝b，an＝(n≥2)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,2an≤bn＋1＋1.分析：通过变形转化，构造基本数列(等差数列、等比数列)是求解递推数列通项的常用思路，而对于不等式的证明，可运用分析法，将其变形再给予证明．(1)由an＝联想到取倒数得＝＋·，令cn＝，有cn＝＋cn－1，当b＝1时，{cn}为等差数列，当b≠1时，设cn＋k＝(cn－1＋k)，展开对比得k＝，构造等比数列，求得cn后再求an；(2)当b＝1时，易验证，当b≠1时，先用分析法将2an≤bn＋

4、1＋1转化为≤bn＋1＋1，利用公式an－bn＝(a－b)(an－1＋an－2b＋…＋bn－1)，再转化为2nbn≤(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－1)，然后将右边乘开，再利用基本不等式即可得证．解：(1)∵a1＝b>0，an＝，∴＝＋·，令cn＝，则cn＝＋cn－1，①当b＝1时，cn＝1＋cn－1，且c1＝＝＝1，∴{cn}是首项为1，公差为1的等差数列，∴cn＝1＋(n－1)×1＝n，于是cn＝＝n，这时an＝1；②当b≠1时，cn＋＝，且c1＋＝＋＝，是首项为，公比为的等比数列，∴cn＋＝·n－1，由＋＝得an＝，(2)证明：由(1)得，当b＝1时，an＝1,2an≤b

5、n＋1＋1⇔2≤2成立，当b≠1时，an＝，2an≤bn＋1＋1⇔≤bn＋1＋1，而1－bn＝(1－b)(1＋b＋b2＋…＋bn－1)，又b>0，故只需证：2nbn≤(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－1)，(※)而(bn＋1＋1)(1＋b＋b2＋…＋bn－2＋bn－1)＝(b2n＋b2n－1＋…＋bn＋1)＋(bn－1＋bn－2＋…＋b＋1)＝(b2n＋1)＋(b2n－1＋b)＋…＋(bn＋1＋bn－1)≥2bn＋2bn＋…＋2bn＝2nbn.∴(※)式成立，原不等式成立．3．(·重庆卷)设f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1的导数为f′(x)，若函数y＝f′(x)的图象关于直线x

6、＝－对称，且f′(1)＝0.(1)求实数a，b的值；(2)求函数f(x)的极值．分析：本小题主要考查利用导数的求法、导数的几何意义、二次函数的图象与性质讨论函数的极值等问题．在具体处理过程中，先求得函数的导数，再根据导数的符号明确其增减性，进而明确极值情况．解：(1)因f(x)＝2x3＋ax2＋bx＋1，故f′(x)＝6x2＋2ax＋b.从而f′(x)＝62＋b－，即y＝f′(x)关于直线x＝－对称，从而由题设条件知－＝－，解得a＝3.又由于f′(1)＝0，即6＋2a＋b＝0，解得b＝－12.(2)由(1)知f(x)＝2x3＋3x2－12x＋1，f′(x)＝6x2＋6x－12＝6(x－1

7、)(x＋2)．令f′(x)＝0，即6(x－1)(x＋2)＝0，解得x1＝－2，x2＝1.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，故f(x)在(－∞，－2)上为增函数；当x∈(－2,1)时，f′(x)<0，故f(x)在(－2,1)上为减函数；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．从而函数f(x)在x1＝－2处取得极大值f(－2)＝21，在x2＝1处取得极小值f(1)＝－6.4．(·四川卷)过点C(0