高考数学复习点拨 立体几何创新问题常见类型探求

《高考数学复习点拨 立体几何创新问题常见类型探求》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、立体几何创新问题常见类型探求高考创新题，向来是高考试题中最为亮丽的风景线。这类问题着重考查观察发现，类比转化以及运用数学知识，分析和解决数学问题的能力。当然数立体几何创新题也是高考创新题重点考查的一种类型。下举例谈谈立体几何创新题的基本类型及求解策略。一、结论开放型例1如图1，在正方体ＡＢＣＤ－Ａ1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中，Ｐ为中截面的中心，则△ＰＡＣ在该正方体各个面上的射影可能是____．（要求：把可能的图的序号填上）图1A1B1C1D1ABCDP①②③④解析：△ＰＡＣ在正方体某一个面上的射影，应当是连结三个顶点Ｐ，Ａ，Ｃ在这个面上的射影而得的图象．由于Ａ，Ｃ在下底面上

2、的射影是它们各自本身，Ｐ在下底面上的射影是ＡＣ中点，故△ＰＡＣ在下底面上的射影是下底面对角线ＡＣ，因此，图①是可能的，且△ＰＡＣ在上底面上的射影是上底面对角线Ａ1Ｃ1，也是图①的情形；而Ａ在侧面ＢＣ1上的射影是Ｂ，Ｃ在侧面ＢＣ1上的射影是它本身，Ｐ在侧面ＢＣ1上的射影是侧面ＢＣ1的中心，故图④也是可能的．同理可知，△ＰＡＣ在其他三个侧面上的射影也都是图④的情形，于是图②，③是不可能的．因此，所有可能的图形是①，④．　评析：本题是一道多选题，涉及的数学概念并不多，侧重于考查数学语言向图形语言的转译，并根据这两种语言提供的信息展开空间想象，弃伪存真，它对于空间想象能

3、力和思维判断能力有着较高的要求，是近几年高考题型改革较为成功的一种新颖题型之一．FxyzDPAEBC图2二、存在探索型例2、如图2，在底面是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=,点E在PD上，且PE:ED=2:1.在棱PC上是否存在一点F，使BF//平面AEC？证明你的结论.解:以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的直线为x轴，建立空间直角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为所以设点F是棱PC上的点，则令得即时，亦即，F是PC的中点时，、、共面.又BF平面AEC，所以当F是棱PC的中点

4、时，BF//平面AEC.评析：对于由给定结论，反溯应具备的条件的探索性问题，可执果索因，由给定的结论追溯应具备的条件。通过观察、试验、联想、演绎、归纳、类比、分析、综合等思维形式，寻找结论成立的条件.三、类比拓展型图3例3、如图，在任意中有余弦定理：.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.解：在斜三棱柱中，有其中为平面与平面所组成的二面角.上述的二面角为,在中，，由于，有评析：对于这类问题，可从命题的结构形式特征入手，再进行证明说理。可运用已知信息，通过延伸和推广，对某些真命题进行深化和拓

5、展，从而得出新的结论．四、动点轨迹型图4CPBPPAPD例4、若三棱锥A－BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与到棱AB的距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成图形可能是（）解析：如图4，，当P与B点重合时，显然满足条件。要使只须，只要适当移动PB的位置就有可能满足，从而知轨迹为靠近线段AB的一条线段。故选D。图5评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形。不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型。五、实际应用型例5、如图5，在边长

6、为a的正三角形的三个角处各剪去一个四边形．这个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全等，如图①．若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图②．则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积的最大值．解:设容器的高为x．则容器底面正三角形的边长为,当且仅当故当容器的高为时，容器的容积最大，其最大容积为评析：由于目标函数是关于三次函数的最值问题，因此用导数求解最方便。六、位置确定型例6、如图是一个封闭的立方体，它的6个面各标出A、B、D、E、F这六个字母中的一个字母。现放成下面的三个不同的位置，所见的的表面上的字母已标明，则A、B

7、、C对面的字母分别是（）A．D、E、FB.F、D、EC.E、F、DD.E、D、F解析:如图1知,A、B、C是共点的三个侧面上的点，由图2，结合图1易知B的对面应是D，同理由图3知A的对面应是E，从而C的对面应是F。从而知正确答案为A。评析：本题主要考查空想想象能力。求解关键是全方位地挖掘点线面诸要素间的关系，遂一肯定或否定，从而达到求解目的。七、组合计数型例8、四面体的顶点和各棱的中点10个点。（1）从中任取三点确定一个平面，共能确定多少个平面？（2）以这10个点顶点，共能确定多少个凸棱锥？解：（1）四面体的每一个面上的6个点只能确定同一个平面，六个中点中又有3

8、对互相平行的连线，每一个