高考数学第一轮考点复习测试题37

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1、解决球问题的四大策略浙江　　曾安雄一、突出球心球心是球的灵魂，抓住球心就抓住了球的位置，特别是当球与球相切或球与平面相切时，我们更应该通过球心和切点及球心的连线来构造多面体，使球问题转化为多面体问题来加以解决．　　例1已知球的半径为1，三点都在球面上，且每两点间的球面距离为，则球心到平面的距离为（　　）　　Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．　　分析：突出球心即可．由于三点在球面上，且每两点间的球面距离相等．故可构造正三棱锥求解．　　解：球心与三点构成正三棱锥，如图所示，已知，，　　由此可得面．　　，．　　由，得．故选（Ｂ）．评

2、注：解有关球面距离的问题，最关键是突出球心，找出数量关系．二、展示大圆因为大圆的半径就是球的半径，所以我们可以把球的问题转化为圆的问题，使空间问题平面化．　　例2用平面截半径的为的球，如果球心到平面的距离为，那么截得小圆的面积与球的表面积的比值为　　　　．　　分析：只要画出截面及球的大圆，利用及的数量关系，即可求出小圆的半径．　　解：作出球的大圆截面图，如图所示，易得．故得．评注：展示大圆的特征图是将空间问题平面化的重要途径．对于球问题通常要抓住其特征（即球半径、小圆半径及圆心距构成的直角三角形）来解决．三、

3、巧作截面解与球有关的截面问题通常要作出轴截面，即通过大圆的截面．例3　一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（　　）　　Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．　　分析：作过大圆的截面，则问题可迎刃而解．　　解：画出截面图，作图所示，知球的半径，求得，故选（Ｃ）．评注：解有关球的表面积和体积问题，最关键是画出截面图，转化为平面几何问题求出球半径．四、掌握规律在解决球问题时，除了以上几种方法外，还应掌握一定的规律．如长方体的外接规律：长方体的外接球直径恰为其对角线长为，即．特别地，正方体的外接

4、球直径恰为其对角线长，即．例4　已知球内接正方体的表面积为，那么球的体积等于　　　　．　　解：设正方体的边长为，则有．　　又由性质有，故有．　　由此求得．