高考数学复习点拨 圆锥曲线新题型选编

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1、圆锥曲线新题型选编　　　　一、与作图有关的创新题例1（1）已知椭圆C的方程是．设斜率为的直线，交椭圆于两点，的中点为．证明：当直线平行移动时，动点在一条过原点的定直线上．（2）利用（1）所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在图中标出椭圆的中心.解：（1）设直线l的方程为，与椭圆的交点，则有解得．，，即．则，．中点的坐标为．线段的中点在过原点的直线上．（2）如图1，作两条平行直线分别交椭圆于和，并分别取的中点连结直线；又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于和，并分别取的中点，连

2、接直线，那么直线和的交点即为椭圆中心．二、与折纸有关的创新题例2　如图2，有一张长为8，宽为4的矩形纸片，按图示方法进行折叠，使每次折叠后点都落在边上，此时将记为（注：图中为折痕，点也可落在边上）．过作交于点，求点的轨迹方程．解：如图3，以边的中点为原点，边所在直线为轴建立平面直角坐标系，则．因为，根据抛物线的定义，点的轨迹是以点为焦点，为准线的抛物线的一部分．设，即定点到定直线的距离为4，抛物线方程为．在折叠中，线段长度在区间内变化，而，．故点的轨迹方程为．三、与立体几何有关的创新题例3　如图4，具有公共轴的两个直角坐标平面

3、和所成的二面角等于．已知内的曲线的方程是，求曲线在内的射影的曲线方程．解：在内，设点是曲线上任意一点（如图5），过点作，垂足为，过作轴．所以是二面角的平面角，依题意．在中，．又知轴（或与重合），轴（或与重合），设，则因为点在曲线上，所以，即所求射影的方程为上，所以，即所求射影的方程为．四、与定义新运算有关的创新题例4　设．常数，定义运算“”：．（1）若，求动点的轨迹的方程并说明轨迹的形状；（2）设是坐标平面上任一点，定义，，计算，并说明和的几何意义．解：（1），轨迹的方程为，故轨迹是抛物线位于轴及轴上方的一部分．（2），．分别

4、为点到原点，点到直线的距离．