简析等价鞅测度及其应用

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1、简析等价鞅测度及其应用摘要：自从20世纪50年代后数理分析工具广泛用于金融分析领域，其中最为知名的当属M-M定理、CAMP以及无套利(APT)定理和鞅等价定理等。在这当中，鞅等价定理直至目前仍然是金融分析中的前沿课题。并且，等价鞅测度定理还是人们在分析金融产品定价、消除金融投机套利机会、降低金融产品投资风险的主要工具。等价鞅测度定理在金融市场分析中的很多领域都可以得到应用。剖析等价测度定理及其应用无疑对掌握金融产品定价方法、优化金融产品投资组合、降低金融产品投资风险将有所裨益。.L.编辑。关键词：鞅；测度；等价鞅测度早在1900年，法国人

2、L.巴恰利埃在一篇关于金融投机的论文中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实物的金融衍生证券的定价问题。但是直到20世纪50年代，金融研究仅有一些含混不清的“大拇指法则”和对所观察到的财务数据的文字性描述。然而进入50年代以后，数学工具在金融研究领域的应用蓬勃发展。马科维茨1952年发表的那篇仅有14页的论文既是现代资产组合理论的发端，又标志着现代金融理论的诞生。随后，莫迪里阿尼和米勒（1958年）第一次应用无套利定理证明了以他们名字命名的M-M定理。同时，德布鲁（1959年）和阿罗（1964年）将一般均衡模型推广至不确定性经济分析当中

3、，为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。稍后，夏普（1964年）、林特内（1965年）和莫辛（1966年）共同导出了著名的资本资产定价模型（CAPM）；另一方面，赫什雷弗（1966年）在一般均衡体系中证明了M-M定理。20世纪70年代，布莱克推导出无风险不存在情况下的“零-ßCAPM”；萨缪尔森、鲁宾斯坦、克劳斯和利茨伯格导出了跨期CAPM；而莫顿则将伊藤积分引入经济分析；提出了连续时间的CAPM；另一方面，罗斯提出了与CAPM相平行的套利定价理论。当然，上世纪70年代最具革命性意义的事件是布莱克和斯科尔斯的期权定价

4、公式以及哈里森与克雷普斯的证券定价鞅定理。哈里森与克雷普斯（1979年）将鞅引入金融分析当中来，使得金融分析发生了革命性的飞跃，为随后的金融分析提供了一个崭新的分析工具与思路。在这当中，最有名的莫过于等价鞅测度定理。等价鞅测度定理为消除套利机会，减少资产投资风险提供了一个简便而又逻辑严谨的分析工具。一、鞅的定义及含义一个关于{ℱ}适应的过程称为一个（关于{ℱ}的）鞅，如每个可积，且Ⅰℱ，（1）称为一个上鞅，如式（1）换为Ⅰℱ，（1）‘称为一个下鞅，如式（1）换为Ⅰℱ，显然，是上鞅

5、，当且仅当是下鞅。现在，我们考虑股票价格的多元二维格栅模型化。在现存框架中，过程由最初股票价格和等式中独立随机变量序列决定。更精确而言，由概率空间中的决定，或对等地，由下列关系决定：（2）。通过下式，引入贴现股票价格过程：（3）设为随机变量生成的空间的解析族，即，对于任意，。明显地，解析族，为域递增族，意指对于任意，。注意到族同时也是由随机变量族生成而致，从而更精确而言，，等式中依据惯例，。，解析族，可将股票价格观测值生成的离散信息流模型化。从金融意义而言，解析族意指时间时所有投资者可以获取的市场信息。对于任意，设定，式中是解析族生成的域

6、。显然。最后，表示过程的自然域族，或简言之，过程的自然过滤因子。下面引入与任一中概率测度对等的概率测度的定义，如此，贴现股票价格在下对于它自身的过滤因子而言为公平博弈。另外，假定属于类。根据类定义，任一中概率测度取决于隐含参数的选取，而仅仅与值相关。而且，此假设不会丧失一般性；不难求证：外不存在与任一类概率测度相等的概率测度，从而CRR模型中的贴现股票价格必将遵循－分布。从而，可在不丧失一般性条件下采用下列鞅测度定义。定义：概率测度可称为贴现股票价格过程的鞅测度如果下列等式成立：；（4）即，如果过程相对过滤因子而言在下遵循鞅分布。这种情况

7、，人们可以断言贴现股票价格遵循－鞅分布，或简言之，－鞅分布，如果没有歧义引起的话。在某些情况中，可以假定股票价格是在隐含过滤概率空间上给出，等式中隐含过滤因子严格大于股票价格过程生成的自然因子。但是，在本节中，为了方便，设定，如同上述定义所明确表示。引理：贴现股票价格的鞅测度存在当且仅当。本例中，的鞅测度是相对于而言的唯一类因子。证明：利用（2）和（3）等式，我们可以根据以下方式重新构建等式（4）：（5）或等价地，。由于随机变量相对于－域独立，那么后一等式成立的充分必要条件是，或明显地，等式必须满足。对最后方程求解值，人们可以得到使得等式

8、（5）成立的唯一值。注意到股票价格遵循唯一鞅测度分布，递增概率的指数随机游走（参见公式（）就等于。这个特征阐明了在不丧失一般性条件下，为什么可将人们的注意力限定在隐含锥空间的特殊概率测度类型上