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1、第五章平面向量课时训练29向量及向量的初等运算【说明】本试卷满分100分，考试时间90分钟.一、选择题（每小题6分，共42分）1.条件甲：“四边形ABCD是平行四边形”是条件乙：“=”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件答案：A解析：因=可能得到A、B、D、C共线.2.设a、b是两个不平行的非零向量，并且a∥c，b∥c，则向量c等于（）A.aB.bC.0D.不存在答案：C解析：若c为非零向量，则a∥b与题设矛盾，故只有当c=0时才满足题意.3.若M是△ABC的重心，则下列各向量中与共线的是（）A.++B.
2、++C.++D.3+答案：C解析：M是△ABC的重心，则++=0.4.下列四个命题中正确的个数有（）①对于实数m和向量a、b，恒有m（a-b）=ma-mb；②对于实数m、n和向量a，恒有（m-n）a=ma-na;③若ma=mb（m∈R），则有a=b;④若ma=na（m、n∈R,a=0），则有m=n.A.1个B.2个C.3个D.4个答案：C解析：∵a≠b,m=0时，ma=mb也成立，∴③不正确，其余①②④均成立，故选C.5.(山东潍坊一模，6)已知点A（，1）、B（0，0）、C（，0），设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，若=λ,则λ等于()A.-B.C
3、.-3D.-答案：A解析：由=λ,得λ=-.故选A.6.已知正方形ABCD的边长等于1，=a，=b，=c，则a+b+c的模等于()A.0B.3C.D.2答案：D解析：+=故a+b+c=2，而
4、
5、=，∴选D.7.(江苏南通一模，7)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足=+λ(+),λ∈［0,+∞］,则P的轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.垂心C.内心D.重心答案：D解析：由=+λ(+),∴-=λ(+),λ∈［0,+∞］,∴=λ(+).∴P在BC边中线上.故P的轨迹通过△ABC的重心.故选择D.二、填空题（每小题5分，共15分）
6、8.把同一平面内所有模不小于2，不大于4的向量的起点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形是_________________________________.答案：以O为圆心，以2及4为半径的圆夹成圆环面（包括周界）.9.当k=___________时，向量a=e1-4e2，b=2e1+ke2共线（其中向量e1，e2不共线）.答案：-8解析：设a=λb，由平面向量基本定理得λ=2,k=-8.10.如右图，若ABCD为正方形，E是CD的中点，且=a，AD=b，则=___________.答案：b-a解析：=+=+=b-a.三、解答题（11—13题每小题
7、10分，14题13分，共43分）11.如右图，若ABCD是一个等腰梯形，AB∥CD，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示和.解析：作CE∥DA交于E，作CF⊥AB交AB于F.∵AB∥DC，CD∥DA，∴AECD是平行四边形,∴=-=-b.∵=-=-=a-c，∴=--=b+c-a.==+=+=+（-）=-+（-）=-b-c+a+(c-a)=a-c-b.12.如右图，平行四边形ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=BD，求证：M、N、C三点共线.证明：设=e1，=e2，则=+=-e1+e2，==-e1+e2.=
8、e1，==e2，=+=e1+e2，=+=e1-e1+e2=e1+e2=（e1+e2）.故=，故M、N、C三点共线.13.已知向量a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1与e2不共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数λ,μ使向量d=λa+μb与c共线？解析：d=λa+μb=(2λ+2μ)e1+(-3λ+3μ)e2,要d与c共线，则应有实数k，使d=kc，即得λ=-2μ.故存在这样的实数λ,μ,只要λ=-２μ,就能使d与c共线.14.求证：向量、、终点A、B、C共线的充要条件是存在实数λ,μ且λ+μ=1,使得=λ+μ.证明：必要性：若，，
9、的终点A、B、C三点共线，则∥，故存在实数m，使得=m.又=-，=-，故-=m（-）.∴=-m+（1+m）.令λ=-m,μ=1+m,则存在λ,μ且λ+μ=1,使得=λ+μ.充分性：若=λ+μ,其中λ+μ=1,则μ=1-λ,=λ+(1-λ),从而有-=λ(-),即=λ.∴A、B、C三点共线，即向量、、的终点在一条直线上.
