第11讲 数列问题的题型与方法

第11讲 数列问题的题型与方法

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1、第11讲数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面,等差数列,等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题,经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列,求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点,常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想,在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想,以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来,高考关于数列方面的命题主要有

2、以下三个方面;(1)数列本身的有关知识,其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合,其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题,其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次,小题大都以基础题为主,解答题大都以基础题和中档题为主,只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。一、知识整合1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上,系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律,深化数学思

3、想方法在解题实践中的指导作用,灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题;2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识,沟通各类知识的联系,形成更完整的知识网络,提高分析问题和解决问题的能力,进一步培养学生阅读理解和创新能力,综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.3.培养学生善于分析题意,富于联想,以适应新的背景,新的设问方式,提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.二、方法技巧1.判断和证明

4、数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n≥2的任意自然数,验证为同一常数。(2)通项公式法:①若 = +(n-1)d= +(n-k)d,则为等差数列;②若 ,则为等比数列。(3)中项公式法:验证中项公式成立。2.在等差数列中,有关的最值问题——常用邻项变号法求解:  (1)当>0,d<0时,满足的项数m使得取最大值.(2)当<0,d>0时,满足的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。3.数列求和的常用方法:公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意

5、事项1.证明数列是等差或等比数列常用定义,即通过证明或而得。2.在解决等差数列或等比数列的相关问题时,“基本量法”是常用的方法,但有时灵活地运用性质,可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。3.注意与之间关系的转化。如:=,=.4.数列极限的综合题形式多样,解题思路灵活,但万变不离其宗,就是离不开数列极限的概念和性质,离不开数学思想方法,只要能把握这两方面,就会迅速打通解题思路.5.解综合题的成败在于审清题目,弄懂来龙去脉,透过给定信息的表象,抓住问题的本质,揭示问题的内在联系和隐含条件,

6、明确解题方向,形成解题策略.四、例题解析例1.已知数列{a}是公差d≠0的等差数列,其前n项和为S.(2)过点Q(1,a),Q(2,a)作直线12,设l与l的夹角为θ,证明:(1)因为等差数列{a}的公差d≠0,所以Kpp是常数(k=2,3,…,n).(2)直线l的方程为y-a=d(x-1),直线l的斜率为d.例2.已知数列中,是其前项和,并且,⑴设数列,求证:数列是等比数列;⑵设数列,求证:数列是等差数列;⑶求数列的通项公式及前项和。分析:由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关,{a}中又有S=4a

7、+2,可由S-S作切入点探索解题的途径.解:(1)由S=4a,S=4a+2,两式相减,得S-S=4(a-a),即a=4a-4a.(根据b的构造,如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键,注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a),又b=a-2a,所以b=2b   ①已知S=4a+2,a=1,a+a=4a+2,解得a=5,b=a-2a=3  ②由①和②得,数列{b}是首项为3,公比为2的等比数列,故b=3·2.当n≥2时,S=4a+2=2(3n-4)+2;当n=1时,S=a=1也适合上式.综上可知,

8、所求的求和公式为S=2(3n-4)+2.说明:1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差,等比数列,求数列通项与前项和。解决本题的关键在于由条件得出递推公式。2.解综合题要总揽全局,尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件,在后面求解的过程中适时应用.例3.(浙江)设数列{an}的前项的和Sn=(an-1)(n+),(1)求a1;a2;(2)求证数列{an}为等比数列。解:(Ⅰ)由,得∴又,即

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