第10讲数列问题的题型与方法

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1、第8讲数列问题的题型与方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来,试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面；（1）数列本身的有关知识，

2、其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。一、知识整合1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有

3、关问题；2・在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力，进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力.3.培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景,新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法.二、方法技巧1.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:⑴定义法：对于的任意自然数验证％(%/%)为同一常数。(2)通项公式法：①若①=

4、引+(n-1)d=吐+(n-k)d,则仏”｝为等差数列；②若,则匕｝为等比数列。(3)中项公式法：验证中项公式成立。1.在等差数列｛%｝中，有关s〃的最值问题一一常用邻项变号法求解：(1)当®>0,d〈0时,囂的项如使矶取最大值.（2）当q〈0,d>0时,:育的项如使得气取最小值。IlTr在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应用。3•数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等。三、注意事项1・证明数列仏｝是等差或等比数列常用定义，即通过证明—门或斜芝而得。1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时基本量法”是常用的方

5、法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便,而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。2.注意片与a“之间关系的转化。如:色二e+工⑷一纵-

6、）・k=24・数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方面，就会迅速打通解题思路.5・解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.!1!例题解析例1・已知数列｛a”｝是公差dHO的等差数列，其前n项和为S“・证明：⑴因为等差数列｛a」的

7、公差dHO,所以Tr(aj+-T—<0~»

8、1Sk>2QdG!)«<,士+缶扌

9、2,可由S„+2-S,+1作切入点探索解题的途径.解:⑴由S”+i=4a“+2,S*=4a*+2,两式相减,得Sw+2-Sw+I=4（an+1-aJ,即aw+2=4art+1-4an.（根据b”的构造，如何把该式表示成b曲与b”的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练）an+2-2art+1=2（aW+1-2aJ,又bw=aw+1-2an,所以bW+1=2bn①已知S?=4比+2,a^l,a,+a2=4a,+2,解得a2=5,b=a2-2a=3②由①和②得，数列｛b,,｝是首项为3,公比为2的等比数列,故b”=3•2fl~].⑵因^cB=

10、^(n€N)i所臥1佗=3•丹3又c冷■吕删洌Q是瓯碍公差是：的割卿L31cb=4B-4・当n22时,Sw=4a+2=2n_,（3n-4）+2；当n=