奥林匹克训练题库·操作问题

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1、操作问题　　84黑板上有5和7两个数。现在规定操作：将黑板上的任意两个数相加的和写在黑板上。问：经过若干次操作后，黑板上能否出现23？　　85有一台古怪的计算器，只有两个运算键，红键把给的数乘以2，黄键把给的数的最后一个数字去掉。例如，给出234，按红键得468，按黄键得23。如果开始给的数是28，为了得到数17，那么除了按若干次黄键外，至少要按红键多少次？　　86黑板上写着8，9，10，11，12，13，14七个数，每次任意擦去两个数，再写上这两个数的和减1。例如，擦掉9和13，要写上21。经过几次后，黑板上就会只剩下一个数？这个数是几？　　87在黑

2、板上任意写一个自然数，然后用与这个自然数互质并且大于1的最小自然数替换这个数，称为一次操作。问：最多经过多少次操作，黑板上就会出现2？　　88在黑板上写出三个自然数，然后擦去一个换成其它两数之和减1，这样继续操作下去，最后得到32，45，76。如果要求原来写的三个自然数的和尽量小，那么它们是哪三个自然数？　　89在上题中，若把最后得到的三个数改为15，35，49呢？　　90对任意两个不同的自然数，将其中较大数换成这两数之差，称为一次变换。如对18和42可作这样的连续变换：　　18，42→18，24→18，6→12，6→6，6　　直到两数相同为止。问：对

3、1234和4321作这样的连续变换，最后得到的两个相同的数是几？　　91对任一自然数n作变换：如果n为奇数，则加上99；如果n为偶数，则除以2。现在对300连续作这种变换，在变换过程中是否可能出现100？为什么？　　92口袋里装有99张小纸片，上面分别写着1～99。从袋中任意摸出若干张小张片，然后算出这些纸片上各数的和，再将这个和的后两位数写在一张新纸片上放入袋中。经过若干次这样的操作后，袋中还剩下一张纸片，这张纸片上的数是几？　　93将40以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下五项工作叫做一次操作：　　(1)将右边第一个数码移到数字串的最左边

4、；　　(2)从左到右两位一节组成若干个两位数；　　(3)划去这些两位数中的合数；　　(4)如果所剩的两位质数中有相同的，那么只保留左边的一个，其余的划去；　　(5)所剩的两位质数，保持数码次序又组成一个新的数字串。　　问：经过99次操作，所得的数字串是什么？　　94在一个圆上标出一些数，第一次先把圆周二等分，在两个分点分别标上1和2。第二次把两段半圆弧分别二等分，在分点标上相邻两分点两数的和3(见左下图)。第三次把四段弧再分别二等分，在4个分点分别标上相邻两个分点两数的和。如此下去，当第六次标完数以后，圆周上所有标出的数的总和是多少？　　　　95右上图

5、是一个圆盘，中心轴固定在黑板上。开始时，圆盘上每个数字所对应的黑板处均写着0。然后转动圆盘，每次可以转动90°的任意整数倍，圆盘上的四个数将分别正对着黑板上写数的位置，将圆盘上的数加到黑板上对应位置的数上。问：经过若干次后，黑板上的四个数是否可能都是1999？　　　　96在右图的方格表中，每次给同一行或同一列的两个数加1，经过若干次后，能否使表中的四个数同时都是5的倍数？为什么？　　　　97在左下图中，对任意相邻的上下或左右两格中的数字同时加1或减1，这算作一次操作。经过若干次操作后变为右下图。问：右下图中A格中的数字是几？　　98五个小朋友A，B，C

6、，D，E围坐一圈(如右图)。老师分别给A，B，C，D，E发2，4，6，8，10个球。然后，从A开始，按顺时针方向顺序做游戏：如果左邻小朋友的球的个数比自己少，则送给左邻小朋友2个球；如果左邻小朋友的球的个数比自己的多或者同样多，就不送了。如此依次做下去，到第四圈为止，他们每人手中的球的个数分别是多少？　　　　99左下图中有5个围棋子围成一圈。现在将同色的两子之间放入一个白子，在异色的两子之间放入一个黑子，然后将原来的5个子拿掉，剩下新放入的5个子如右下图，这算一次操作。如果继续这样的操作，那么一圈的5个子中最多时能有几个黑子？　　　　100六个盘子中各

7、放有一块糖，每次从任选的两个盘子中各取一块放入另一个盘子中，这样至少要做多少次，才能把所有的糖都集中到一个盘子中？　　101将1～10这10个数随意排成一排。如果相邻两个数中，前面的大于后面的，就交换它们的位置。如此操作直到前面的数都小于后面的数为止。已知10在这列数中的第6位，那么最少要进行多少次交换？最多要进行多少次交换？　　102☆下图是一个4×5的方格纸。先将其中的任意4个方格染黑。然后按以下规则继续染色：如果某个格至少与两个黑格都有公共边，就将这个格染黑。这样操作下去，能否将整个方格纸都染成黑色？