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1、高考数学压轴题精炼二1.(本小题满分12分)已知常数a>0,n为正整数，fn(x)=xn–(x+a)n(x>0)是关于x的函数.(1)判定函数fn(x)的单调性，并证明你的结论.(2)对任意n³a,证明f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n)解:(1)fn`(x)=nxn–1–n(x+a)n–1=n[xn–1–(x+a)n–1],∵a>0,x>0,∴fn`(x)<0,∴fn(x)在（0，+∞）单调递减.4分（2）由上知：当x>a>0时,fn(x)=xn–(x+a)n是关于x的减函数,∴当n³a时,有：(n
2、+1)n–(n+1+a)n£nn–(n+a)n.2分又∴f`n+1(x)=(n+1)[xn–(x+a)n],∴f`n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n–(n+1+a)n]<(n+1)[nn–(n+a)n]=(n+1)[nn–(n+a)(n+a)n–1]2分(n+1)fn`(n)=(n+1)n[nn–1–(n+a)n–1]=(n+1)[nn–n(n+a)n–1],2分∵(n+a)>n,∴f`n+1(n+1)<(n+1)fn`(n).2分2.(本小题满分12分)已知：y=f(x)定义域为［–1，1］，且满足
3、：f(–1)=f(1)=0，对任意u,vÎ[–1，1］，都有
4、f(u)–f(v)
5、≤
6、u–v
7、.(1)判断函数p(x)=x2–1是否满足题设条件？(2)判断函数g(x)=，是否满足题设条件？解：(1)若u,vÎ[–1，1]，
8、p(u)–p(v)
9、=
10、u2–v2
11、=
12、(u+v)(u–v)
13、，取u=Î[–1，1]，v=Î[–1，1],则
14、p(u)–p(v)
15、=
16、(u+v)(u–v)
17、=
18、u–v
19、>
20、u–v
21、，所以p(x)不满足题设条件.（2）分三种情况讨论：10.若u,vÎ[–1，0]，则
22、g(u)–g(v)
23、=
24、
25、(1+u)–(1+v)
26、=
27、u–v
28、，满足题设条件；若u,vÎ[0，1]，则
29、g(u)–g(v)
30、=
31、(1–u)–(1–v)
32、=
33、v–u
34、，满足题设条件；30.若uÎ[–1，0]，vÎ[0，1]，则：
35、g(u)–g(v)
36、=
37、(1–u)–(1+v)
38、=
39、–u–v
40、=
41、v+u
42、≤
43、v–u
44、=
45、u–v
46、，满足题设条件;40若uÎ[0，1]，vÎ[–1，0],同理可证满足题设条件.综合上述得g(x)满足条件.3.(本小题满分14分)已知点P(t,y)在函数f(x)=(x¹–1)的图象上，且有t2–c2at+4c2
47、=0(c¹0).(1)求证：
48、ac
49、³4;(2)求证：在(–1，+∞）上f(x)单调递增.(3)(仅理科做)求证：f(
50、a
51、)+f(
52、c
53、)>1.证：(1)∵tÎR,t¹–1,∴⊿=(–c2a)2–16c2=c4a2–16c2³0，∵c¹0,∴c2a2³16,∴
54、ac
55、³4.(2)由f(x)=1–,法1.设–10,x2+1>0,∴f(x2)–f(x1)<0,即f(x2)56、增.法2.由f`(x)=>0得x¹–1,∴x>–1时，f(x)单调递增.（3）（仅理科做）∵f(x)在x>–1时单调递增，
57、c
58、³>0,∴f(
59、c
60、)³f()==f(
61、a
62、)+f(
63、c
64、)=+>+=1.即f(
65、a
66、)+f(
67、c
68、)>1.4．（本小题满分15分）设定义在R上的函数（其中∈R，i=0,1,2,3,4），当x=－1时，f(x)取得极大值，并且函数y=f(x+1)的图象关于点（－1，0）对称．（1）求f(x)的表达式；（2）试在函数f(x)的图象上求两点，使这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都
69、在区间上；（3）若，求证：解：（1）…………………………5分（2）或…………10分（3）用导数求最值，可证得……15分5．（本小题满分13分）设M是椭圆上的一点，P、Q、T分别为M关于y轴、原点、x轴的对称点，N为椭圆C上异于M的另一点，且MN⊥MQ，QN与PT的交点为E，当M沿椭圆C运动时，求动点E的轨迹方程．解：设点的坐标则……1分………………………………………………………3分由（1）－（2）可得………………………………6分又MN⊥MQ，所以直线QN的方程为，又直线PT的方程为…10分从而得所以代入（1）
70、可得此即为所求的轨迹方程.………………13分6．（本小题满分12分）过抛物线上不同两点A、B分别作抛物线的切线相交于P点，（1）求点P的轨迹方程；（2）已知点F（0，1），是否存在实数使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.解法（一）：（1）设由得：………………………………3分直线PA的方程是：即①同理，直线PB的方程是：②由①②得：∴点P的轨迹方程是……………………………………6分（2）由（
