高考数学 数形结合思想在解题中的应用知识分析

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1、数形结合思想在解题中的应用知识要点:1.数形结合是数学解题中常用的思想方法,数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷。2.所谓数形结合,就是根据数与形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想,实现数形结合,常与以下内容有关:(1)实数与数轴上的点的对应关系;(2)函数与图象的对应关系;(3)曲线与方程的对应关系;(4)以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念,

2、如三角函数等;(5)所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式。3.纵观多年来的高考试题,巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题,可起到事半功倍的效果,数形结合的重点是研究“以形助数”。4.数形结合的思想方法应用广泛,常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域、最值问题中,在三角函数解题中,运用数形结合思想,不仅直观易发现解题途径,而且能避免复杂的计算与推理,大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越,要注意培养这种思想意识,要争取胸中有图见数想图,以开拓自己的思维视

3、野。考点一:利用数形结合的方法解决有关方程和不等式问题:【例题分析】例1.若关于的方程的两根都在区间(-1,3)内,求的取值范围。解:由的图象可知,要使两根都在区间(-1,3)内,只需,同时成立,解得,故说明:,其图象与轴交点的横坐标就是方程的根,根据函数图象的性质可以得出对应的方程情况。其他函数和方程也可以类似得出解决的方法。例2.已知,则方程的实根个数为()A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个解:判断方程的根的个数就是判断图象的交点个数,画出两个函数图象,易知两图象只有两个交点,故方程有2

4、个实根,选B。说明:数形结合法可以解决一些既不是无理方程,也不是二次或三次方程的其他方程或不等式,也就是超越方程或者不等式。例如本例题中的方程。考点二:利用数形结合法解决有关最大值最小值的问题例3.如果实数满足,则的最大值为()A.B.C.D.解:等式有明显的几何意义,它表示坐标平面上的一个圆,圆心为,半径,(如图),而则表示圆上的点与坐标原点(0,0)的连线的斜率,如此一来,该问题可转化为如下几何问题:动点在以(2,0)为圆心,以为半径的圆上移动,求直线的斜率的最大值,由下图可见,当点在第一象限,且

5、与圆相切时,的斜率最大,经简单计算,得最大值为。例4.已知满足的最大值与最小值。解:对于二元函数在限定条件下求最值问题,常采用构造直线的截距的方法来求之。令,原问题转化为:在椭圆上求一点,使过该点的直线斜率为3,且在轴上的截距最大或最小,由图形知,当直线与椭圆相切时,有最大截距与最小截距。由,得,故的最大值为13,最小值为。例5.求函数的值域。几何法:的形式类似于斜率公式,表示过两点的直线的斜率。由于点在单位圆上(见下图)显然,设过的圆的切线方程为,则有,解得即函数值域为考点三:利用数形结合法解决其它

6、问题:例6.若集合,集合,且,则的取值范围为___________。解:,显然,表示以(0,0)为圆心,以3为半径的圆在轴上方的部分,(如图),而则表示一条直线,其斜率,纵截距为,由图形易知,欲使,即是使直线与半圆有公共点,显然的最小逼近值为,最大值为,即例7.点是椭圆上一点,它到其中一个焦点的距离为2,为的中点,表示原点,则()A.B.C.4D.8解:(1)设椭圆另一焦点为,(如下图),则而又注意到各为的中点是的中位线(2)若联想到第二定义,可以确定点的坐标,进而求中点的坐标,最后利用两点间的距离公

7、式求出,但这样就增加了计算量,方法较之(1)显得有些复杂。例8.双曲线C的两个焦点是F1、F2,双曲线上任意一点P,过F2作∠F1PF2的平分线的垂线平分线交于M,则M的轨迹是A.圆B.直线C.双曲线D.抛物线解:如图,PM是∠F1PF2的平分线,F2N是PM的垂线,则ΔF2PM和ΔNPM全等,所以F2M=MN,PF2=PN,根据双曲线的定义PF1-PF2=2a,所以NF1=2a,而在三角形F1NF2中OM为中位线,所以:

8、OM

9、=a,所以M点的轨迹为以原点为圆心a为半径的圆。说明:数形结合法解决数学

10、问题的关键是要找到数学量的几何意义或者几何图形的性质,然后根据题意构造几何图形,实现代数和几何的相互联系。【模拟试题】一.选择题:1.方程的实根的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个2.函数的图象恰有两个公共点,则实数的取值范围是()A.B.C.D.3.设命题甲:,命题乙:,则甲是乙成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件4.若不等式的解集为,且,则的值为()A.1B.2C.3D.45.若时,不等式恒成立,则

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