高考数学 数形结合思想在解题中的应用知识分析

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1、数形结合思想在解题中的应用知识要点：1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。2．所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图象的对应关系；（3）曲线与方程的对应关系；（4）以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，

2、如三角函数等；（5）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式。3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在三角函数解题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视

3、野。考点一：利用数形结合的方法解决有关方程和不等式问题：【例题分析】例1.若关于的方程的两根都在区间(－1，3）内，求的取值范围。解：由的图象可知，要使两根都在区间（－1，3）内，只需，同时成立，解得，故说明：，其图象与轴交点的横坐标就是方程的根，根据函数图象的性质可以得出对应的方程情况。其他函数和方程也可以类似得出解决的方法。例2.已知，则方程的实根个数为（）A.1个B.2个C.3个D.1个或2个或3个解：判断方程的根的个数就是判断图象的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2

4、个实根，选B。说明：数形结合法可以解决一些既不是无理方程，也不是二次或三次方程的其他方程或不等式，也就是超越方程或者不等式。例如本例题中的方程。考点二：利用数形结合法解决有关最大值最小值的问题例3.如果实数满足，则的最大值为（）A.B.C.D.解：等式有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为，半径，（如图），而则表示圆上的点与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此一来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以（2，0）为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由下图可见，当点在第一象限，且

5、与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值为。例4.已知满足的最大值与最小值。解：对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用构造直线的截距的方法来求之。令，原问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为3，且在轴上的截距最大或最小，由图形知，当直线与椭圆相切时，有最大截距与最小截距。由，得，故的最大值为13，最小值为。例5.求函数的值域。几何法：的形式类似于斜率公式，表示过两点的直线的斜率。由于点在单位圆上（见下图）显然，设过的圆的切线方程为，则有，解得即函数值域为考点三：利用数形结合法解决其它

6、问题：例6.若集合，集合，且，则的取值范围为___________。解：，显然，表示以（0，0）为圆心，以3为半径的圆在轴上方的部分，（如图），而则表示一条直线，其斜率，纵截距为，由图形易知，欲使，即是使直线与半圆有公共点，显然的最小逼近值为，最大值为，即例7.点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为2，为的中点，表示原点，则（）A.B.C.4D.8解：（1）设椭圆另一焦点为，（如下图），则而又注意到各为的中点是的中位线（2）若联想到第二定义，可以确定点的坐标，进而求中点的坐标，最后利用两点间的距离公

7、式求出，但这样就增加了计算量，方法较之（1）显得有些复杂。例8.双曲线C的两个焦点是F1、F2，双曲线上任意一点P，过F2作∠F1PF2的平分线的垂线平分线交于M，则M的轨迹是A.圆B.直线C.双曲线D.抛物线解：如图，PM是∠F1PF2的平分线，F2N是PM的垂线，则ΔF2PM和ΔNPM全等，所以F2M=MN，PF2=PN，根据双曲线的定义PF1-PF2=2a，所以NF1=2a，而在三角形F1NF2中OM为中位线，所以：

8、OM

9、=a，所以M点的轨迹为以原点为圆心a为半径的圆。说明：数形结合法解决数学

10、问题的关键是要找到数学量的几何意义或者几何图形的性质，然后根据题意构造几何图形，实现代数和几何的相互联系。【模拟试题】一.选择题：1.方程的实根的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个2.函数的图象恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.3.设命题甲：，命题乙：，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件4.若不等式的解集为，且，则的值为（）A.1B.2C.3D.45.若时，不等式恒成立，则