对数学基础的0和1的新认识

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1、对数学基础的0和1的新认识　　学习和研究数学、物理学的人都知道，现行理学中有很多重大悖论和疑难；连逻辑主义数学家弗雷格也说‘逻辑在哪里出了毛病呢？很多人百思不得其解。这一问题直接威胁到数学的基础………更重要的是，威胁到自然数的定义。’还说‘对什么是1这样一个貌似简单的问题，尚未有一个完满的答案……否则，我们最终将弄不清楚负数、分数或复数。’（引自[3]）　　数学家们也都哀叹数学的悖论灾难越来越深重了；有些数学家试图用“零（记为0）和无限大（记为∞）是关于1的反演点，即0∞=1”的方法（引自[1]的第8页）来躲避如影随形的悖论，但更不通了，因为现行的所谓“实数”已（无理的）规定“

2、0是整数、偶数，但不能做除数”；而且0既然是“实数轴”的始点，而∞却在无限的遥远，也不是真正的反演。明摆着，是“实数”有毛病，即“实数轴”为无限的直线是错误的。　　令人惊喜的是，如把“实数轴”改为有限的线段，则整个现行数学基础就被革命性纠正，从而所有相关的悖论和疑难也随之全部消除。　　于是，所谓“实数”就有了其新概念〈数〉（用〈〉表示新概念）。　　1“实数”的新概念　　先取“实数轴”的正半轴射线改为线段，再把它有限等分，并把有序性编号①、②、③…从左向右标在相应的分点上，则1、2、3…等称为有序积段，而①、②、③…是其分点的编号，如图1。对这同一线段，当有序编号○n增多，则等分

3、分段△n间隔缩小，但△n≡1（‘固符’△专使△n≡1），如图2。　　图2显示出四点：第Ⅰ、总段（总段用粗体1标志，以区别于积段1）的始点是○0；○0是0的编号；第Ⅱ、如果反序读正半轴的，则也出现负号，这说明正负符号与有序积段本身无关（例如钱这数量，其本身是没有正负的，只在使用时才出现正负号。）；第Ⅲ、如把每一分段△n继续不断十等分，则○n○∞，但○n≠○∞，否则△n=1/○∞=0，总段就不存在了，这就有悖；这也证实了○∞不属于总段1，即○n和○∞分别是1和∞两者界点的编号。所以编号为○∞的∞不在总段1上，而是总段1的终端○n之外的空间。注意，同一界点的两个编号○∞和○n是不容许

4、换位的；但现行的“实数轴”是无限的射线，才使数学家们把○∞和○n合二为一了，即可以○n=○∞了，这是“实数”有缺陷的根本原因；第Ⅳ、不管编号○n如何增多，恒有△n=1，即等分分段△n≡1。　　同理，现用的负半“实数轴”用上述办法也可显出图2这四点，如图3。　　然后把图2、图3在○0点连接成一条线段，就成了一条完整的新数轴，如图4。当无轴排序时，才在编号前加负号表示左序。显然整个新数轴仍以总段1标出，其分段编号为两组○n；总段1的两端之外都是∞了，也即两端点都是n与∞的界点，都标着○n和○∞两个编号，这很容易把○n和○∞混同，请看图4。　　由四个图可知，0是不真的数，因为它没有长

5、度，因此0在新概念中仅表示‘无’、‘空位’等。由图4可看出，0是微观的‘无’，∞是宏观的‘无’，作为数都是不真的。要有总段1，才能被有限多的编号○n等分后得到有限多的有序积段；如果没有总段1，就会把有序编号○n与有序积段n混而为一了。　　据上述知，把总段1按有序编号○n等分后，各从始点到○n的点的有序积段称为〈自然数〉；但　　这〈自然数〉是有限的，所以是新概念，其数轴是新概念数轴。　　注意：事实上总段1不是〈自然数〉的1，因为它不是由等分得到，因而没有编号，所以不是〈数〉。　　不连续的〈自然数〉叫〈整数〉。所以〈整数〉中没有正号、负号和不真的〈数〉0、∞。　　数学范畴不能引入各

6、种量，因而没有量纲（量纲即量度单位），以致人们不会区别〈纯数〉和〈量数〉两个概念，现在有了新概念〈自然数〉，就可区别〈纯数〉和〈量数〉了，例如和m/○n，虽然两者都是〈自然数〉之间关系性式子的〈数〉，但前者是〈纯数〉而后者是〈量数〉。　　进而，一切小数无论是‘有理的，无理的，或超越的’，实质上都是物理元素间或几何元素间的关系的值，亦即仅由〈自然数〉（○n是其编号）间按各种关系性运算符号组成的式子产生，如、、1.4142……=、=【注意，在没有量纲的条件下，L，D都只能是（存在性的）〈整数〉，不可能是（关系性的）小数；因为总可以用最小的度量单位，能使小数点消去。】、，等。　　有了

7、新概念〈自然数〉，就知道任何小数在表达上都没有独立性（须由〈自然数〉组成的式子表出），而且甚至没有完全性（如无限小数须取近似值），所以都不能标在新概念数轴上。有了〈自然数〉，还容易区分无限小数中的“无理性和超越性”，如无限小数、无理数、这两式中的〈整数〉是确定的，而、中〈整数〉是不确定的，这就是、为何具有‘超越性’的原因。显然，这一判断方法是简明有效的（而康托的用数轴判断法是错误的，因为凡小数都是关系性的数，在数轴上是没有的）。　　由新概念数轴可看出，n表示‘有限大’，其编号○n表示‘有限多