二项式定理的“另类”用途

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1、二项式定理的“另类”用途二项式定理揭示了项数、系数、指数等方面的联系和规律。一般说来，二项式定理问题相对独立，主要有确定展开式中的相关项，求各项系数和差，以及处理整除问题等等。但二项式定理也有一些“另类”用途，它们可以看作是二项式定理应用的丰富和发展，对于提高学生思维的敏捷性和灵活性有一定的促进作用。本文结合事例来进行说明。1逆向求值二项展开式通常以正向展开的应用为主，但有时需要逆向应用，这有助于培养学生思维的双向性和灵活性。例1求值：（1）；（2）。分析：如果直接求解的话，第（1）题稍微烦琐点，而第（2）题简直是无从下手。现在先化简变形，再逆用二项式定理求值，真是“确实好多

2、了！”解：（1）设=x，则，即∴=12345。（2）∵∴=。点评：这类二项式逆向求值通常与组合数公式等的变形联系在一起。以下这道题也曾经出现在多种资料上，很典型。题目为求的值，尽管面目很可憎，但是只要将分子都变成8！，则该式即为。例2（上海高考题）已知数列｛｝（n为正整数）是首项为a1，公比为q的等比数列。（1）求和：，；（2）由（1）的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论，并加以证明。解：（1）=a1－2a1q＋a1q2=a1(1－q)2；=a1－3a1q＋3a1q2－a1q3=a1(1－q)3。（2）归纳概括的结论为：若数列｛an｝是首项为a1，公比为q的等比数列，则，n

3、为正整数。证明如下：。点评：本题是二项式定理知识与数列知识的综合应用，也属于逆向求值。2求近似值利用二项式定理进行近似计算也算是二项式定理的“另类”应用之一。例3（1996年全国高考题）某地现有耕地10000公顷，规划后粮食单产比现在增加22℅，人均粮食占有量比现在提高10℅，如果人口年增长率为1℅，那么耕地平均每年至多减少多少公顷（精确到1公顷）？解：设耕地平均每年至多减少x公顷，又设该地区现有人口P人，粮食单产M吨/公顷。依题意得，化简得∵∴，即耕地平均每年至多只能减少4公顷。3证不等式利用二项式定理来证明不等式，很是别具一格。简捷、流畅，令人赏心悦目。例4设，求证：。证

4、明：运用“和差换元”，令a=x+y，b=x-y，则a+b=2x>0，∴左边==右边，∴原不等式成立。例5已知函数，证明：对于任意不小于3的正整数n，。分析：直接证明难度较大。将其进行转化为：。而当时，，故得证。