复数问题的题型与方法

《复数问题的题型与方法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、复数问题的题型与方法（3课时）复数一节的题型主要是讨论复数的概念，复数相等，复数的几何表示，计算复数模，共轭复数，解复数方程等．一、数学规律：1．共轭复数规律，；2．复数的代数运算规律（1）i=1，i=i，i=1，i=i；（3）i·i·i·i=1，i＋i＋i＋i=0；；3．辐角的运算规律（1）Arg（z·z）＝Argz＋Argz（3）Argzn=nArgz（n∈N）…，n1。或z∈R。要条件是

2、z

3、＝

4、a

5、。18（6）z·z≠0，则4．根的规律复系数一元n次方程有且只有n个根，实系数一元n次方程的虚

6、根成对共轭出现。5．求最值时，除了代数、三角的常规方法外，还需注意几何法及不等式

7、

8、z

9、

10、z

11、

12、≤

13、z±z

14、≤

15、z

16、+

17、z

18、的运用。即

19、z±z

20、≤

21、z

22、+

23、z

24、等号成立的条件是：z，z所对应的向量共线且同向。

25、z±z

26、≥

27、z

28、

29、z

30、等号成立的条件是：z，z所对立的向量共线且异向。二、主要的思想方法和典型例题分析：1．化归思想复数的代数、几何、向量及三角表示，把复数与实数、三角、平面几何和解析几何有机地联系在一起，这就保证了可将复数问题化归为实数、三角、几何问题。反之亦然。这种化归的思想方法应贯穿复数

31、的始终。【分析】这是解答题，由于出现了复数和，宜统一形式，正面求解。【解】解法一 设z＝x＋yi（x，y∈R），原方程即为用复数相等的定义得：∴=1，=1+3i.两边取模，得：18代入①式得原方程的解是=1，=1+3i.【例2】 （1993·全国·理）设复数z=cosθ＋isinθ（0＜【解】 ∵z＝cosθ+isinθ=cos4θ＋isin4θ即，又∵0＜θ＜π，当时，或【说明】此题转化为三角问题来研究，自然、方便。【例3】 设a，b，x，y∈R+，且（r＞0），18求证：分析 令=ax+byi，

32、==bx+ayi（a，b，x，y∈R+），则问题化归为证明：

33、

34、+

35、

36、≥r（a+b）。证明 设=ax+byi，=bx＋ayi（a，b，x，y∈R+），则=

37、（a+b）x+（a＋b）yi

38、=

39、（a＋b）（x+yi）

40、＝（a＋b）·r。解 如图所示，设点Q，P，A所对应的复数为：18即 （x3a+yi）·（i）＝（x3a+yi）由复数相等的定义得而点（x，y）在双曲线上，可知点P的轨迹方程为【说明】将复数问题化归为实数、三角、几何问题顺理成章，而将实数、三角、几何问题化归为复数问题，就要有较强的联想能力

41、和跳跃性思维能力，善于根据题设构造恰到好处的复数，可使问题迎刃而解。2．分类讨论思想分类讨论是一种重要的解题策略和方法。在复数中它能使复杂的问题简单化，从而化整为零，各个击破。高考复数考题中经常用到这种分类讨论思想方法。【例5】（1990·全国·理）设a≥0，在复数集C中解方程z＋2

42、z

43、=a。分析 一般的思路是设z=x＋yi（x，y∈R），或z=r（cosθ＋isinθ），若由z＋2

44、z

45、=a转化为z=a2

46、z

47、，则z∈R。从而z为实数或为纯虚数，这样再分别求解就方便了。总之，是一个需要讨论的问题

48、。【解】解法一 ∵z=a2

49、z

50、∈R，∴z为实数或纯虚数。∴问题可分为两种情况：（1）若z∈R，则原方程即为

51、z

52、+2

53、z

54、a=0，（2）若z为纯虚数，设z=yi（y∈R且y≠0），则原方程即为 

55、y

56、2

57、y

58、＋a=0当a=0时，

59、y

60、=2即z=±2i。当0＜a≤1时，当a＞1时，方程无实数解，即此时原方程无纯虚数解。18综上所述，原方程：当a=0时，解为z＝0或z=±2i解法二 设z=x＋yi，x，y∈R，将原方程转化为3．数形结合思想数与形是数学主要研究内容，两者之间有着紧密的联系和互相渗透、互

61、相转化的广阔前景，复平面的有关试题正是它的具体表现。运用数形结合思想与方法解题是高考考查的热点之一，应引起注意。【例6】 已知

62、z

63、=1，且z+z＝1，求z。【解】  由z+z=1联想复数加法的几何性质，不难发现z，z，1所对应的三点A，B，C及原点O构成平行四边形的四个顶点，如图所示，18【说明】 这样巧妙地运用联想思维，以数构形，以形思数，提炼和强化数形结合的思想方法，有利于培养学生思维的深刻性。【例7】复平面内点A对应复数z，点B对应复数为，O为原点，△AOB是面积为的直角三角形，argz∈(

64、0，)，求复数z的值．【分析】哪一个角为直角，不清楚，需要讨论．【解】因

65、OA

66、=

67、z

68、＞

69、

70、=

71、OB

72、，故∠A不可能是直角，因而可能∠AOB=90º或∠ABO=90º．若∠AOB=90º，示意图如图1所示．因z与所对应的点关于实轴对称，故argz=45º,xOABy图1S△AOB=

73、OA

74、·

75、OB

76、=

77、z

78、·

79、

80、=

81、z

82、2=．于是，

83、z

84、=2，从而，z=2(cos45º+isin45º)=+i．xOABy图2若∠ABO=90º，示意图如图2所示．因z与所对应的点关于