2018年高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第41讲 数列不等式的证明方法

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1、第41讲数列不等式的证明方法【知识要点】证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法.一、数学归纳法一般地，证明一个与自然数有关的命题，有如下步骤：（1）证明当取第一个值时命题成立.对于一般数列取值为0或1，但也有特殊情况；（2）假设当（，为自然数）时命题成立，证明当时命题也成立.综合（1）（2），对一切自然数（），命题都成立.二、放缩法证明不等式时，有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目的，这种方法称为放缩法.放缩的技巧：①添加或舍去一些项，如：②将分子或分母放大或缩小，如：③利用基本不等式等，如：三、分析法证明不等式时，从待证命题出发，分析

2、使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件，这种证明的方法称为分析法，它是执果索因的方法.用分析法证明时，要注意格式，一般格式是“要证明，只需证明……”.一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.【方法点评】方法一数学归纳法解题步骤一般按照数学归纳法的“两步一结论”步骤来证明.【例1】用数学归纳法证明:13【点评】利用数学归纳法证明不等式时，关键在于第二步，证明这一步时，一定要利用前面的假设和已知条件.【反馈检测1】已知，（其中）（1）求及；（2）试比较与的大小，并说明理由．方法二放缩法解题步骤一般放缩数列通项，

3、或放缩求和的结果.【例2】已知函数（1）当时，求函数在上的极值；13（2）证明：当时，；（3）证明：.（2）令则上为增函数.（3）由（2）知令得，13【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式，是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不等式，有时需要放缩通项，有时是需要放缩求和的结果，本题两种放缩都用上了.(3)放缩要得当，所以放的度很重要，有时需要把每一项都放缩，有时需要把前面两项不放缩，后面的都放缩，有时需要把后面的项不放缩，所以要灵活调整，以达到证明的目的.【反馈检测2】已知数列满足．（1）求及通项公式；（2）求证：．【反馈检测3】将正整数按如图的规律排列，把第一行数1，2，5，10，1

4、7，记为数列，第一列数1，4，9，16，25，记为数列（1）写出数列，的通项公式；（2）若数列，的前n项和分别为，用数学归纳法证明：；（3）当时，证明：．【反馈检测4】已知函数（1）当时，比较与1的大小；（2）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；（3）求证：对于一切正整数，都有13【反馈检测5】已知函数.（1）讨论的单调性与极值点；（2）若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；（3）证明：.方法三分析法解题步骤从待证命题出发，分析使其成立的充分条件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件.【例3】已知函数是奇函数，且图像在

5、点处的切线斜率为3（为自然对数的底数）．（1）求实数、的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）当时，证明：．（2）当时，设，则设，则，在上是增函数13因为，，所以，使时，，，即在上为减函数；同理在上为增函数从而的最小值为所以，的最大值为【点评】本题的第3问，由于结论比较复杂，一下子看不出证明的方向，所以要采用分析法来证明.【反馈检测6】已知函数.（1）当时，试确定函数在其定义域内的单调性；（2）求函数在上的最小值；13（3）试证明：.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第41讲：数列不等式的证明方法参考答案【反馈检测1答案】（1），；（2）当或时，,当时，．【反馈检测1详细解析】（1）

6、取，则；取，则，．∵时，，∴∴．13即时结论也成立，∴当时，成立.综上得，当或时，；当时，．【反馈检测2答案】（1），；（2）见解析.【反馈检测3答案】（1），；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【反馈检测3详细解析】（1）由，得：，．①当时，，∴，又，∴时等式成立；②假设时等式成立，即，则时，13，∴时等式也成立．根据①②，都成立．【反馈检测4答案】（1）或；（2）见解析.【反馈检测4解析】（1）当时，，其定义域为因为，所以在上是增函数故当时，；当时，；13当时，（2）当时，，其定义域为，令得，因为当或时，；当时，所以函数在上递增，在上递减，在上递增且的极大值为，极小值为又当时，；当时，因

7、为函数仅有一个零点，所以函数的图象与直线仅有一个交点.所以或（3）方法二：用数学归纳法证明：①当时，不等式左边，右边因为，所以，即时，不等式成立13②假设当时，不等式成立，即那么，当时，由（1）的结论知，当时，，即所以即即当时，不等式也成立综合①②知，对于一切正整数，都有【反馈检测5答案】（1）在和上单调递增，在上单调递减.为极大值点，为极小值点；（2）见解析；（3）见解析.（2）当时，令，13，