二维均匀分布矩形区域面积的估计

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1、第23卷第4期大学数学Vol.23,№.42007年8月COLLEGEMATHEMATICSAug.2007二维均匀分布矩形区域面积的估计刘兆君(山东工商学院数学与信息科学学院,山东烟台264005)[摘要]根据一维均匀分布区间长度的区间估计,探讨了二维均匀分布矩形区域面积的估计问题,并给出了其各种估计.[关键词]一维均匀分布;二维均匀分布;区间估计[中图分类号]O211.1[文献标识码]C[文章编号]167221454(2007)04201552051引言均匀分布是概率论中的一个常用的重要分布.设X服从(a,b)上的一维均匀分布,记X～U(a,b)(a

2、X的概率密度为f(x;a,b),即1,a

3、间估计.为讨论方便,我们记L^=max{Xi}-min{Xi},则L^可作为一维均匀分布U(a,b)的区间长度L=b1≤i≤n1≤i≤n-a的估计量.为进一步讨论之需要,现将文[4]中的一些重要结论以引理形式预备如下.引理1.1L^=max{Xi}-min{Xi}是L=b-a的渐近无偏估计,且1≤i≤n1≤i≤nn-12(n-1)2EL^=L,DL^=2L.(1.2)n+1(n+1)(n+2)引理1.2L^=max{Xi}-min{Xi}的密度函数为1≤i≤n1≤i≤nn(n-1)n-2n(n-1)n-1n-1z-nz,0

4、上的二维均匀分布的性质为了讨论方便,我们将矩形区域{(x,y)

5、a

6、互独立且X～U(a,b),Y～U(c,d).证此结论显然成立.3二维均匀分布矩形区域面积的点估计利用定理2.1及文[4]中的两个引理,我们可以更进一步地讨论,在矩形区域D=[a,b;c,d]上服从二维均匀分布的(X,Y)关于矩形区域D的面积估计问题.设二维母体(X,Y)服从矩形区域D=[a,b;c,d]上的二维均匀分布,其中a,b,c,d均为未知参数.从二维均匀母体(X,Y)中随机抽出容量为n的简单随机子样(X1,Y1),(X2,Y2),⋯,(Xn,Yn),由定理2.1可知,X1,X2,⋯,Xn与Y1,Y2,⋯,Yn是两组独立子样,且分别取自一维均匀母体U(a,b)(a

7、维均匀母体U(c,d)(c

8、那么,我们可以推得S^=L^1L^2的密度函数如下.定理3.1S^=L^1L^2的密度函数为2222n(n-1)n-2zSn(n-1)n-2zn-1z1+ln+2n-1z-1,0

9、x

10、x当0