数列极限的题目[4篇]

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1、数列极限的题目[4篇]以下是网友分享的关于数列极限的题目的资料4篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。数列极限的题目第一篇§2.数列的极限极限理论是整个微积分理论的基础及基本工具，贯穿于整个课程之中。在各种类型的极限中，数列的极限是最简单的。一．数列极限的概念极限的概念是由于求解某些实际问题的真值而产生的。例1．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。解：纪录小棍的长度：1，111，，…，n-1，…随着时间的延伸（n越大），小棍的长度越来越接近于242n33-1一个定值0。但是小棍的长度永远不会为零。再如古代魏晋时期数学家刘徽（225-295）的“割圆术”，作圆的内接正6⨯2边

2、形，其面积为：A1,A2,An,，12πAn=6⨯2n-1R2sin当n越来越大时，An趋近于一个定值，此定值即为圆n-126⨯2的面积。就是极限思想在几何学上的应用。1．数列的概念及表示定义：按照一定的顺序排成的一列数，称之为数列，可以记为x1,x2,x3,,xn,，或{xn}；其中xn称为的图示方法有两种：数列的一般项或通项。若视数列为定义在自然数域N上的函数f(n)，则xn=f(n),n∈N。数列n∙∙∙2.33数列的特性∙∙⑴有界数列：∃M>0,使xn≤M对所有的n都成立，称数列{xn}为有界数列，其特点是所有的x都落在一条宽为2M的带子中。1nn如数列{n，(-1)都

3、是有界数列；而数列{n},(-1)n2则为无界数列。2-注：有界数列的等价定义：存在常数a,b，使得a≤xn≤b，∀n∈N。如数列{{}{}⑵单调数列：x1x2>x3>>xn>单调减小数列11111,,,,,为单减（有界）数列，{n}：1,2,3,,n,为单增（无上界）数列，：2n2482nn而(-1)：-1,1,-1,1,则为非单调（有界）数列。{}注：单调递增的数列一定有下界，单调递减的数列一定有上界。二．数列的极限当n33无限增大时，观察下面数列的变化趋势1+12+13+1n+1n+1,,,,,xn=→1(n→∞)123nn111n1n1→1(n→∞)1-1,1+,1-,

4、1+,,1+(-1),xn=1+(-1)n234n共同点：存在常数a，当n无限增大时，xn无限接近于a。这一类数列统称为“收敛数列”，a则为数列的极限。不具备这一性质的数列则为发散数列。如数列，{(-1)}，{n}均为发散数列。问题：如何用数学的语言描述数列的收敛或发散？收敛或发散的数列有什么样的性质？如果数列收敛，如何求其极限？......对于收敛的数列{xn}，当n充分大时，xn充分接近于a，即xn-a可以充分的小。如数列n{1+(-1)n1n1，观察可得：xn=1+(-1)→1nnn(n→∞)；此时a=1；即当n充分大时，1+(-1)n331充n分接近于1；或当n充分大时

5、，xn-=

6、1+(-1)如果要使得xn-1=11-1

7、=，可以充分的小，即要多小就能有多小；或者nn1足够的小，只要让n充分大即可。n1如，要xn-=1110；如果要xn-1=100；如果要求nn110000，......n111一般，对于任意小的正数ε，要求xn-1=；记N=[]，则当n>N时，必有εnε11n>，从而有xn-1=nε定义1.∀ε>0，∃N>0，当n>N时，若有xn-a作：limxn=a（或xn→a,(n33→∞)）。n→∞注：①ε的任意小性，N的存在性，且N=N(ε)不是唯一的，一般ε越小，N越大；②limxn=a的几何解释：n→∞以上描述极限的方式称为ε-

8、N语言，是对数列极限的精确数学描述，有很高的理论价值，还可以用来讨论验证一些极限问题。例2．设

9、q

10、n→∞n-1=0，即∀ε>0,∃N,n>N时，qn-1-0n-1∀ε>0，欲使qn-1-0=q取N=[1+lnεlnε，或n>1+，故lnqlnqlnεlnεn-1N，即n>1+时，qn→∞ln

11、q

12、ln

13、q

14、n1=。33例3．证明：limn→∞2n+12n111111-

15、⋅(-1)。从而，证：∀ε>0，欲使

16、2n+1222ε2(2n+1)22n+11111n1n1-1)]，当n>N即n>⋅(-1)时，有

17、-

18、n→∞2n+122ε22ε2n+122n111111-

19、0，欲使

20、只要

21、

22、2n+122n+122(2n+1)2n+1n11n111*-

23、，取N=[]，当n>N=[]时，必有n>，则

24、εε2n+12εε②一般证明limxn=a的方法是：∀ε>0，由xn-an(ε)，n→∞取N=[n(ε)]即可。1nπcos，观察limxn=?求出N，使得当n>N时，xn与其极限值之n→∞n2差的绝对值小于正数ε。并且当ε=0.001时，求出相应的N。1nπ111

25、≤，故N=[]；解：观察可得limxn=0；∀ε>0，欲使

26、xn-0

27、=

28、cosn→∞n2nεε如果ε=0.001，则