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1、题目第三章数列等差数列高考要求理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。知识点归纳1.等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。2.等差数列的判定方法:②定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。③等差中项：对于数列，若，则数列是等差数列。3.等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。该公式整理后是关于n的一次函数。4.等差数列的前n项和:⑤⑥对
2、于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数。5.等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。5.等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则。也就是：⑨若数列是等差数列，是其前n项的和，，那么，，成等差数列。如下图所示：6.奇数项和与偶数项和的关系：⑩设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项
3、项的和，是前n项的和，则有如下性质：前n项的和当n为偶数时，，其中d为公差；当n为奇数时，则，，，，（其中是等差数列的中间一项）。7．前n项和与通项的关系：⑾若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则。题型讲解例1如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差；分析：等差数列的奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列，等差数列中通项公式和前n项和公式中五个量，只要知道其中三个，就可以求其它两个，而是基本量.解：设等差数列首项为，公差为d，则例2设等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a
4、3=12,S12＞0,S13＜0.(Ⅰ)求公差d的取值范围；(Ⅱ)指出S1,S2,…,S12,中哪一个值最大,并说明理由.解：(Ⅰ)依题意,有，即由a3=12,得a1=12－2d(3)将(3)式分别代入(1),(2)式,得，∴.(Ⅱ)由d＜0可知a1＞a2＞a3＞…＞a12＞a13.因此,若在1≤n≤12中存在自然数n,使得an＞0,an+1＜0,则Sn就是S1,S2,…,S12中的最大值.由于S12=6(a6+a7)＞0,S13=13a7＜0，即a6+a7＞0,a7＜0.由此得a6＞－a7＞0.因为a6＞0,a7＜0,故在S1,S2
5、,…,S12中S6的值最大.例3已知5个数成等差数列，它们的和为5，平方和为，求这5个数。解：设三个数为a，公差为d，则这5个数依次为a-2d，a-d,a,a+d,a+2d.依题意：(a-2d)2+(a-d)2+a2+(a+d)2+(a+2d)2=且(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5即a2+2d2=且a=1∴a=1且d=当d=时，这5个数分别是－、、1、、；当d=－时，这5个数分别是、、1、、－。例4等差数列｛an｝的前n项和Sn且S5=-5,S10=15,求数列｛｝的前n项和Tn.
6、 解：设数列｛an｝的公差为d，首项为a1，由已知得5a1+10d=-5,10a1+45d=15解得a1=-3，d=1∴Sn=n(-3)+∴∵ ∴｛｝是等差数列且首项为＝－3、公差为∴Tn=n×(-3)+..例5项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数。解：设数列共2m+1 （m∈N*）把该数列记为｛an｝。依题意a1+a3+……+a2m+1=44且a2+a4+……+a2m=33即(a2+a2m)=33 （1）(a1+a2m)=44 （2） （1）÷（2）得
7、∴m=3代入（1）得a2+a2m=22∴am+1==11。即该数列有7项，中间项为11。例6在直角坐标平面上有一点列，对一切正整数，点位于函数的图象上，且的横坐标构成以为首项， 为公差的等差数列。⑴求点的坐标；⑵设抛物线列中的每一条的对称轴都垂直于轴，第条抛物线的顶点为，且过点，记与抛物线相切于的直线的斜率为，求：。⑶设，等差数列的任一项，其中是中的最大数，，求的通项公式。解：（1）（2）的对称轴垂直于轴，且顶点为.设的方程为：把代入上式，得，的方程为：。，=（3），T中最大数.设公差为，则，由此得说明：本例为数列与解析几何的综合题，
8、难度较大（1）、（2）两问运用几何知识算出，解决（3）的关键在于算出及求数列的公差。例7已知f(x)=a1x+a2x2+a3x3+……＋anxn,n为正偶数，且a1,a2,a3,……,an组成等差数列，又f(1)=n2,
