从泛音的发现到傅立叶级数理论的建立

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1、从泛音的发现到傅立叶级数理论的建立贾随军１，贾小勇２，李保臻１（１．西北师范大学教育学院，甘肃兰州７３００７０；２．重庆文理学院数学与统计学院，重庆４０２１６０）摘要：对协和音程的较低音调中存在较高音调这一现象的剖析引出了泛音概念。对基音与泛音共存现象的深入研究提出了简单模式叠加观念。傅立叶在简单模式叠加观念的启发下建立了其级数理论。从泛音的发现到傅立叶级数理论的建立是一个漫长的历史过程，对此过程的历史考察是研究傅立叶级数理论的起源、实质及内核的重要方面，同时也是揭示数学与音乐之间联系的重要视角。关键词

2、：傅立叶级数；简单模式叠加观念；数学与音乐；泛音中图分类号：Ｎ０３１文献标志码：Ａ傅立叶（ＪｏｓｅｐｈＦｏｕｒｉｅｒ，１７６８－１８３０）级数理论经历近两百年的发展后已成为现代数学的核心研究领域之一。一方面，它与偏微分方程论、复变函数论、概率论、代数及拓扑等许多数学分支都有密切关系。另一方面，它是工程技术、经典物理及量子力学等学科中的重要工具，它在热学、光学、电磁学、医学、空气动力学、仿生学、生物学等领域都有广泛的应用。［１］霍华德·伊夫斯（Ｈｏｗａｒｄｅｖｅｓ）认为傅立叶级数的产生是数学发展史上里程碑

3、式的事件［２］。傅立叶级数理论的创建与声乐理论的研究关系密切。在声乐理论中，ｈａｒｍｏｎｉｃｓ表示“泛音”，而在数与影响，因此，要真正弄清傅立叶级数理论产生的思想根源，对早期声乐理论中简单模式叠加观念的形成与影响进行系统深入的历史考察实属必要。１泛音的发现古希腊人发现了一个有趣的现象，拨弄一下琴弦，这根琴弦除了发出一个响亮的音调外，还会发出一个比此音调高八度的协和音，换句话讲，他们在八度协和音程的较低音调中发现了较高音调，但反之不然。此现象说明古希腊人已经发现了泛音学学科中，ｈａｒｍｏｎｉｃ表示“调和

4、”，ｈａｒｍｏｎｉｃａｎａｌｙｓｉｓ表示“调和分析”①，同一词语ｈａｒｍｏｎｉｃ反复出现在音乐与数学中，这既非偶然巧合，亦非仅仅为了比喻。而恰恰能够说明艺术中最抽象的领域———音乐与最抽象的科学———数学之间存在着实实在在的一致性。从历史的角度看，数学中作为调和分析基础的傅立叶级数理论，其起源与创立受到早期声乐中的泛音理论，特别是简单模式叠加观念的重要启发②。这一现象意味着同一根弦在同一瞬间发出了两个音调，亚里士多德（Ａｒｉｓｔｏｔｌｅ，公元前３８４－３２２）曾对此感到十分困惑。根据伽利略（Ｇａｌｉｌ

5、ｅｏＧａｌｉｌｅ－ｉ，１５６４－１６４２）的研究，频率是决定音高的本质要素，那么这一现象则意味着同一条弦以两个频率振动。事实上，梅森（ＭａｒｉｎＭｅｒｓｅｎｎｅ，１５８８－１６４８）和１７世纪早期的一些学者对此现象仍然无法理解，一个物体是否可以以多个频率振动呢？梅森认识到了收稿日期：２０１１－０２－２１基金项目：西北师范大学青年教师科研提升项目（ＳＫＱＮＹＢ１００１０，ＳＫＱＮＹＢ１００１１）；教育部人文社科项目（１０ＹＪＡ７２００３５）；重庆市教委科学技术研究项目（ＫＪ１１１２０８）。作者简介：贾随军

6、，甘肃通渭人，西北师范大学教育学院副教授，科学技术史专业博士，从事近现代数学史研究。贾小勇，甘肃通渭人，重庆文理学院数学与统计学院副教授，科学技术史专业博士，从事近现代数学史研究。①以傅立叶级数理论为基础产生了调和分析这门学科，经典调和分析通常被称为傅立叶分析，其主要内容为傅立叶级数与傅立叶积分的应用，在经典调和分析理论的基础上，在具有代数、拓扑结构的抽象集合上也建立了相应的调和分析理论，称为抽象调和分析。②在一件乐器上奏出的任何一个音都伴随着一系列在它上方并与它有固定音程关系的音。这些音是我们听到的单

7、音的组成部分，但也可以将它们分别奏出。泛音列中最低的音（“基音”）是第一泛音，其次的最低音是第二泛音，依次类推。（见《牛津简明音乐词典》〔３〕）“泛音”这个词可能源于梭佛（ＪｏｓｅｐｈＳａｕｖｅｕｒ，１６５３－１７１６）的研究，梭佛称高于基音的这些音为“泛音”是因为它与基音是和谐的。这一问题的重要性，他在《宇宙和谐》（ＨａｒｍｏｎｉｅＵｎｉｖｅｒｓｅｌｌｅ（１６３６））中讨论了此问题。他指出，一条开放的弦（ｏｐｅｎｓｔｒｉｎｇ）可以同时产生至少五个音调。在安静的环境下，只要注意力集中并经过一定训练的人都

8、可以毫无困难地听到这些音调。同时，他还确认了这些音的音高：“我们可以听到不同于自然音的四种音调，这些音调遵循数字１，２，３，４，５之间的比值，第一个是八度音（２：１①），第二个是十二度音（３：１），第三个是十五度音（４：１），第四个是十七度音（５：１）。”［４］梅森的讨论表明他已经意识到了一条弦除了基音外发出的四个泛音，它们依次是第二泛音、第三泛音、第四泛音、第五泛音。在泛音列中，相对于基音来说，越不协和的音离基音越远，音响也越弱，因而产生