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时间:2018-04-26
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1、2007-2008学年第一学期《随机数学(B)》期末考试试卷(A)答案一.填空题(本题满分15分,共有5道小题,每道小题3分)请将合适的答案填在每题的空中1.设、是二个随机事件,,,则__0.7_____.2.设随机变量的分布函数为则的概率密度为:________.3.设,则=___13-____.4.设二维随机变量的联合密度函数为则_____8___.5.设总体服从二项分布,则参数的最大似然估计量________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,将符合题目要求的所
2、有选项前的字母填在题后的括号内,注:不一定唯一。)1.设、为两个相互独立的随机事件,则下列选项一定正确的是.;.;.;..【B,D】2.当随机变量的可能值充满区间________,则可以成为随机变量的分布密度第55页共10页.;.;.;..【A】3.设,,其中、为常数,且,则.;.;.;..【A,C】4.如果随机变量X,Y不相关,则下列等式不成立的为.;.;.;..【C】5.设为随机变量,若,,则一定有.;.;.;..【B】三.(本题满分10分)设有来自三个地区的各10名,15名和20名考生的报名表,其中女生
3、的报名表分别为3份,7份和5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽二份⑴求先抽到的一份是女生表的概率.⑵已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率.解:设={报名表是i区的考生的}i=1,2,3;={第j次抽到的报名表是男生表},j=1,2,则,,是样本空间S的一个划分,且有…4第55页共10页(1)由全概率公式…4(2)由贝叶斯公式:…3四.(本题满分10分)设随机变量的密度函数为,。求:⑴系数A;⑵X落在区间(0,1)内的概率;(3)X的分布函数。解:(1)根据概率密度函数的性质易知A>0,
4、其次有,于是,…4(2)当时,,当时于是…4(3)…2五.(本题满分10分)设概率密度为,。1)求的数学期望与方差;2)求的概率密度。第55页共10页解:(1)…3所以…3(2)所以…4六.(本题满分10分)一机场的交通车送25名乘客到9个车站,设25个乘客都等可能地在任一个车站下车,并且他们下车与否相互独立,交通车只有在有人下车时才停车,求该交通车停车总次数的数学期望。解:由题设,每一位乘客在i站下车的概率均为1/9,(i=1,2,....9),用表示“第K位乘客在第站下车“,则有,又因相互独立,第站无人下
5、车(因此不停车)的概率为设则,…4于是交通车停车总次数X为所以…4七.(本题满分10分)设的密度函数为。求:⑴的边缘密度函数;⑵的条件密度函数;(3)。解:(1)当,…2第55页共10页所以同理有….2(2)…4(3)…2八.(本题满分10分)某螺丝厂的废品率为0.01,问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中至少含有100个合格品的概率不小于95%?附表:标准正态分布的分布函数的表解:令则独立同分布,且…3令我们要求n使得…4由中心极限定理,所以,每盒中至少应装103个螺丝钉。…3九.(本题满分10分)为了解灯泡
6、使用时数的均值及标准差,测量10个灯泡,得=1500小时,=20小时,如果第55页共10页已知灯泡的使用时数服从正态分布,求和的95%的置信区间.解:(1)未知方差求的置信区间,,已知=1500,=20,由附表查得的95%的置信区间为…2…2…2(2)查表得,的置信区间为…2…2十.附加题(本题满分10分)设,,…,是总体的样本,,分别是样本均值和样本方差.证明:1)服从;2)与独立.证明:(1).取一N阶正交矩阵,其中第一行元素为,作正交变换,其中由于故仍为正态变量,由知又由知第55页共10页故两两不相关,
7、又由于N维随机变量是有N维正态随机变量(,,…,)经由线性变换而得到的,因此,也是N维正态随机变量,于是由两两不相关可得相互独立,且有而于是由于相互独立,且,知,从而得证服从(2)仅依赖于,而仅依赖于,再由的独立性,推知与独立北京交通大学2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷(A卷)参考答案一.(本题满分8分)在某个社区,60%的家庭拥有汽车,30%的家庭拥有房产,而20%的家庭既有汽车又有房产.现随机地选取一个家庭,求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率.解:设“任取一个家庭拥有汽
8、车”,“任取一个家庭拥有房产”.由题设得,,.因此有;.所求概率为.二.(本题满分8分)假设一个人在一年中患感冒的次数服从参数为的Poisson分布.现有一种预防感冒的新药,它对于22%的人来讲,可将上面的参数降为(称为疗效显著);对37%的人来讲,可将上第55页共10页面的参数降为(称为疗效一般);而对于其余的人来讲则是无效的.现有一人服用此药一年,在这一年中,他患了2次感冒,求此药对他是“疗效显
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