概率论历年试卷及答案

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1、2007-2008学年第一学期《随机数学（B）》期末考试试卷(A)答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中1．设、是二个随机事件，，，则__0.7_____．2．设随机变量的分布函数为则的概率密度为：________．3．设，则=___13-____．4．设二维随机变量的联合密度函数为则_____8___．5．设总体服从二项分布，则参数的最大似然估计量________．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，将符合题目要求的所

2、有选项前的字母填在题后的括号内，注：不一定唯一。）1．设、为两个相互独立的随机事件，则下列选项一定正确的是.；.；.；.．【B，D】2．当随机变量的可能值充满区间________，则可以成为随机变量的分布密度第55页共10页.；.；.；.．【A】3．设，，其中、为常数，且，则.；.；.；.．【A，C】4．如果随机变量X，Y不相关，则下列等式不成立的为.；.；.；.．【C】5．设为随机变量，若，，则一定有.；.；.；.．【B】三．（本题满分10分）设有来自三个地区的各10名，15名和20名考生的报名表，其中女生

3、的报名表分别为3份，7份和5份．随机地取一个地区的报名表，从中先后抽二份⑴求先抽到的一份是女生表的概率．⑵已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率．解：设={报名表是i区的考生的}i=1,2,3;={第j次抽到的报名表是男生表}，j=1，2，则，，是样本空间S的一个划分，且有…4第55页共10页（1）由全概率公式…4（2）由贝叶斯公式：…3四．（本题满分10分）设随机变量的密度函数为，。求:⑴系数A;⑵X落在区间(0,1)内的概率;(3)X的分布函数。解：（1）根据概率密度函数的性质易知A>0,

4、其次有，于是，…4(2)当时，，当时于是…4(3)…2五．（本题满分10分）设概率密度为，。1）求的数学期望与方差；2）求的概率密度。第55页共10页解：（1）…3所以…3（2）所以…4六．（本题满分10分）一机场的交通车送25名乘客到9个车站，设25个乘客都等可能地在任一个车站下车，并且他们下车与否相互独立，交通车只有在有人下车时才停车，求该交通车停车总次数的数学期望。解：由题设，每一位乘客在i站下车的概率均为1/9，（i=1,2,....9）,用表示“第K位乘客在第站下车“，则有，又因相互独立，第站无人下

5、车（因此不停车）的概率为设则，…4于是交通车停车总次数X为所以…4七．（本题满分10分）设的密度函数为。求:⑴的边缘密度函数;⑵的条件密度函数;(3)。解：（1）当，…2第55页共10页所以同理有….2(2)…4(3)…2八．（本题满分10分）某螺丝厂的废品率为0.01，问一盒中应装多少只螺丝钉才能使其中至少含有100个合格品的概率不小于95%？附表：标准正态分布的分布函数的表解：令则独立同分布，且…3令我们要求n使得…4由中心极限定理，所以，每盒中至少应装103个螺丝钉。…3九．（本题满分10分）为了解灯泡

6、使用时数的均值及标准差，测量10个灯泡，得=1500小时，=20小时，如果第55页共10页已知灯泡的使用时数服从正态分布，求和的95%的置信区间．解：（1）未知方差求的置信区间，，已知=1500，=20，由附表查得的95%的置信区间为…2…2…2（2）查表得，的置信区间为…2…2十．附加题（本题满分10分）设，，…,是总体的样本，，分别是样本均值和样本方差．证明：1)服从；2)与独立．证明：（1）.取一N阶正交矩阵，其中第一行元素为，作正交变换，其中由于故仍为正态变量，由知又由知第55页共10页故两两不相关，

7、又由于N维随机变量是有N维正态随机变量（，，…,）经由线性变换而得到的，因此，也是N维正态随机变量，于是由两两不相关可得相互独立，且有而于是由于相互独立，且，知，从而得证服从（2）仅依赖于，而仅依赖于，再由的独立性，推知与独立北京交通大学2011~2012学年第二学期概率论与数理统计期末考试试卷（A卷）参考答案一．（本题满分8分）在某个社区，60%的家庭拥有汽车，30%的家庭拥有房产，而20%的家庭既有汽车又有房产．现随机地选取一个家庭，求此家庭或者有汽车或者有房产但不是都有的概率．解：设“任取一个家庭拥有汽

8、车”，“任取一个家庭拥有房产”．由题设得，，．因此有；．所求概率为．二．（本题满分8分）假设一个人在一年中患感冒的次数服从参数为的Poisson分布．现有一种预防感冒的新药，它对于22%的人来讲，可将上面的参数降为（称为疗效显著）；对37%的人来讲，可将上第55页共10页面的参数降为（称为疗效一般）；而对于其余的人来讲则是无效的．现有一人服用此药一年，在这一年中，他患了2次感冒，求此药对他是“疗效显