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1、第42页共42页浙江大学2004-2005学年秋冬季学期《微积分》课程期末考试试卷一、填空题1．.2．设可导，则.3．的值域范围为.4．5．设则=.6．当时，与等价无穷小，则常数，=.二、计算题1.求2．已知且连续，求.3．求.4．求曲线与轴围成的平面图形分别绕轴和轴旋转一周所得的旋转体体积.5．在曲线段上,求一点使得过点的切线与直线所围成的三角形的面积最大．三、求幂级数的收敛区间以及在收敛区间上的和函数，并求级数的和.四、证明若则五、已知为连续函数.（1）求常数；（2）证明的导函数连续.第42页共42页浙江大学2004-2005学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、填空题1．．2.
2、．3．．4.．， 令.5.由，，，，，．6.由洛必达法则， ，其中：,得，即.第42页共42页二、计算题1.=．2.=.3.=.4.,．5.解:（1）过点的切线方程为，令，得，得，令，得，令，，令，得，（舍）．，，所以，当时，三角形面积最大．第42页共42页三、因为 ，所以 ．四、设，在上由柯西定理，有.再令,故单调下降，得，有,得.五、 (1）因为，所以． (2），所以，而 ,所以在上是连续的．第42页共42页浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷一、计算题1.已知抛物线过点，且在该点的曲率圆方程为则,,2.设，则(1)；(2)3.若则4.当时，函数取得极小值.5
3、.曲线在横坐标为1的点处的切线方程为*6.已知则（此题不作要求）二、求极限1.2.三、求导数1.设函数由所确定，求2.设求3.设，求.四、求积分1.． 2.．3.．4.．五、设曲线轴和轴所围区域被曲线分为面积相等的两部分，试求常数.六、将函数展开成的幂级数，并求级数的和.七、设在内可导，且证明：．第42页共42页第42页共42页浙江大学2005-2006学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、计算题1.由，有，得由曲率圆方程两边求导，，得，，得根据与曲率圆在点有相同的；得到，所以有.2.（1）＝=．（2）.3. 因为，当时,所以得.4. ,,令，解得 ，由于，当时，，所以当时，取到极
4、小值．第42页共42页5.因为, ，所以，切线方程为 .6.．二、求极限1.=，注：当时,．2.因为,=，而，，所以．三、求导数1. 对方程两边关于求导数,注意到,有,得=, .2. ,，， ,．第42页共42页3. ，.四、 １.=.2.(令)=====.3. 注：令.4.==＝=.第42页共42页五、由 得交点,，，由，得，所以 .六、由， ，，当时，，得 .七、解法一：由洛必达法则,.解法二：① 若，由，按定义知，，当时，恒有．，当时，有，由于，有，再取，使得，当时，有，所以，．② 若，由，则有，设，有，由①知，，得证．第42页共42页浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积
5、分》课程期末考试试卷一、求导数或微积分（1）设，求.（2）设，求处的及.（3）设是由方程确定的的可导函数，求.二、求积分（4）求. （5）求.（6）求.三、求极限（7）求.（8）设存在，，求.（9）设，求.四、选择题（10）设，则时[]（A）是同阶但不等价无穷小.（B）是等价无穷小.（C）的高价无穷小.（D）的高价无穷小.（11）设级数收敛，则下述结论不正确的是[]（A）必收敛.（B）必收敛.（C）必收敛.（D）必收敛.第42页共42页（12）设，则[]（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续但不可导（D）可导（13）设为连续函数，除点外，二阶可导，的图形如图，则（A
6、）有一个拐点，一个极小值点，一个极大值点.（B）有二个拐点，一个极小值点，一个极大值点.（C）有一个拐点，一个极小值点，二个极大值点.（D）有一个拐点，二个极小值点，一个极大值点.五、（14）设曲线常数与曲线交于点，过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面形．(I)求绕轴旋转一周所成的旋转体体积；（II）求的值使为最大.六、（15）将函数在处展开成泰勒级数（即麦克劳林级数）并指明成立范围.七、（16）设证明．第42页共42页浙江大学2006-2007学年秋冬学期《微积分》课程期末考试试卷答案一、求导数或微分(1） ．(2) 由，得，由，令，得，得，所以，,．(3)由及，得，对方程 两边取微分有
7、，将，代入，得 ．二、求积分（4）解 （令）．第42页共42页（5）解 令，＝．（6）解令，＝.三、求极限(7) 解 注 注[]．(8)解 ＝．第42页共42页（9）解 由 ，取,则 ,所以．四、（10）解：因为 注：由洛必达法则 注：，所以，是同阶但不等价无穷小，则选A．（11）解：（A） 因为 ，而收敛，所以必收敛，（B）因为， 所以必收敛．（C）因为所以必收敛,第4
