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1、线性代数习题详解第一章行列式§1.n阶行列式的定义作业1.包含的逆序为（b,a）,(c,a),(f,e)∴(bcadfe)=32.,3.(1)=0+2-4-1+0+4=1(2)=12-12-12+12-6+6=0习题1.-s2.∵为正号项∴其逆序为偶数；∴（i345j）为偶数若i=1,j=2,(13542)=4;∴成立若i=2,j=1(23541)=5;∴不成立∴i=1,j=2.3.设为奇数排列，则为偶排列，反之也成立，所以可以建立1，3…n所有奇偶数排列之间的一个一一映射，所以n阶排列中，奇偶排列的个数相同，从而中符号为正的项的个数相同于为负的项的个数，且
2、都为。4.解：显然，有0的项都为0，所以每一行的元素都为确定的∴===§2行列式的性质作业1.2.3.4.习题1.（1）证明：（2）2．计算下列各题解：把行列式D进行如下变换：变换后的行列式第一列所有元素为1，第n列所有元素为3，显然第一列与第三列成比例.∴D=0.(2)解：-4=4（3）解：方程可化为，而展开得，即，而方阵==0§3．行列式的展开定理作业1．（1）（2）=0,∴D=0(3)(4)2.解：习题1.解：,;1.解：由题意2.证：设第k行元素全为1，∴，∴3.解：，∵有一行元素全为1，∴4.解：将行列式D进行++…+的交换得新行列式A，A的第一列
3、元素都为b，所以行列式D可以提出b,使得D=bB,B为第一列元素全为1，其余元素与A相同，显然++…+5.§4．行列式计算举例作业1.=2.习题1.2.3.略4.解：，同理可得，∴5.解：=1.解：+a=()+a作业§5.Cramer规则作业1.∴2.解：习题1证：由题意知存在ax+by+c=0(a,b不同时为0)，st..考虑以为未知数的方程组：，∵方程组有非零解，∴其系数行列式，证毕。第二章.矩阵§1.矩阵的定义及其运算作业1（1）（2）（3）（4）2.解：,3.证明：（1）（2）.习题1.（1）解：再用数学归纳法得（2）解：=由数学归纳法得（3）解：用
4、数学归纳法证，，当n=2时，设n=k时，，当n=k+1时，∴.2.证明：=E.3.解：4.解：（1）A=B=(2)A=(3)A=(4)A=(5)A=,B=C=.5.证明：6.证明：ξ2.可逆矩阵作业1.解：∴2.证明：∴A+2E可逆，都可逆.3.解：习题1.∵AB=A+B(A-E)(B-E)=E∴A-E可逆.2.证：（1）=B(2).3.解：=4.解:5.证：6.证：∵,∵∴7.证明：8.解：(对角线元素相同)，∴，∴.ξ3.初等变换与初等矩阵作业.1.∴2.（1）.（2）.∴(3)..3.(1).，化为标准型：（2）.4.解：,,,5.解：习题1．解:,,
5、∴先将的每个元素乘以-1，再交换第一列与第二列即可得。2.证：（1）(2)若PAQ=B,A=,∵PQ为初等矩阵，∴.(3)设3.解：,A(X-A)(B-E)=B,.,+4.解：,,∴5.解：ξ4.分块矩阵作业1.解：其中∴.2.证：把，∴若若3.解：（1）(2)=-4+2=-2习题1.解：2.证明：设∴3.证明：（1）(2).4证明：考虑方阵;∵E-AB可逆，∴.(2)ξ5矩阵的秩数作业1.（1）（2）2.证：1.解：习题1.证明：；2.证明：;若R(E+A)=3.则3阶方阵（A+E）可逆.∴R(E+A)=1，同理R(E-A)=1或2，又∵∴R(E+A)与R
6、(E-A)一个为1，一个为2.3.证明：1.证明：（1）当R(A)=n时即A可逆；（2）当又∵R(A)=n-1，即A中存在一个n-1阶子式部位0，∴A中至少有一个元素∴(3)5.证明：∵R(A)=r,∴存在m级可逆矩阵P，n级可逆矩阵Q，s.t令第三章向量空间ξ1.向量，向量的运算及其线性关系作业1.解:将原始化简得2.证：假设存在不全为0的3.(1)∵∴(2)假设st.线性相关与4.解：（1）（2）∴线性无关。（3）。1.解：由题意：习题1．证明：2.证明：假设与3.证明：假设线性相关，∴存在不全为0的st.∴1.证：由题意，存在不全为0的,5.ξ2.极大
7、无关组与矩阵的列秩数作业1．∴R=2,为一个极大无关组，1.设A的行向量为；，又由AB可逆，故假设线性相关，则线性相关，则与矛盾，∴B的列向量线性无关.3．向量集T的秩为r，即可找到r个向量，使得现证明也能被利用反证法：假设不能被线性表出，则，线性无关，令可知新列，是T中线性无关组，其秩为r+1与为极大线性无关组矛盾，则可被表示，则也为极大线性无关组。习题1．证明：显然若线性无关，则为中下极大无关组。取T中极大无关组，又能被表出直秩均为r，故线性无关。2．证明：同理（1）可知只需证线性无关。反证法：假设线性相关，可被线性表出。由题设知，st.B可由表出，又可
8、由表出，则B也可由表出与唯一性矛盾，故线性无关.3．
