3c-维修线性流量阀时的内筒设计问题

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1、第37卷第14期数学的实践与认识Vol137No1142007年7月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYJuly,2007维修线性流量阀时的内筒设计问题123赵彬,马莉,白曦(1.吉林大学辊锻工艺研究所,长春130025)(2.吉林大学交通学院,长春130025)(3.吉林大学计算机科学与技术学院,长春130012)摘要:针对问题1,利用微元法证明了面积特性曲线保持线性的必要条件.探索了内筒孔为四种特殊形状下,线性关系比较良好.利用最小二乘原理建立了无约束条件泛函极值模型.通过对内筒孔曲线的合理假设,得到了线性关系较好的内筒孔曲线形状.针对问题2,利用最小二乘原理

2、建立了有约束条件泛函极值模型,设计出最优内筒孔形状.通过牺牲严格的线性关系使其逐渐满足两个约束条件,设计出最优的内筒孔形状.最后考虑外筒孔磨损情况提出了基于自动控制理论和逆向工程技术等方法.关键词:线性阀体;最小二乘法;泛函极值模型1模型假设1)阀体的旋转角度与内筒相对移动距离成正比,移动距离与“过流面积”成正比;2)线性阀体内外筒为薄壁筒,不考虑其壁厚给设计带来的影响;3)外筒圆直径与外筒孔直径相差很大,展开后外筒孔面积变化足够小,可近似为圆形;4)内筒在转动过程中,只存在周向水平运动,不存在垂直方向运动;5)假设内筒孔曲线与外筒孔曲线最多只有两个交点,可以有一段相切,且曲线连续;6)

3、为简化计算,假设外筒孔半径为一个单位长度.2符号设定1)R:圆的半径,为一个单位长度1;2)F(x):待求的内孔曲线;3)f(x):内筒孔下边沿曲线;224)$h:曲线下降的距离微元;G(x):外筒孔上半圆方程,y=1-x即圆的方程x2+y=1;h:曲线F(x)下降到某一位置时其与初始位置的距离;5)hmax:曲线F(x)从初始位置下降至“过流面积”达到最大值时的距离;6)A、B、C、D:分别表示曲线F(x)在移动过程中与曲线G(x)的交点;7)(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),(x4,y4):分别表示点A、B、C、D的坐标值;8)k:曲线F(x)下降的距离与“过流面积”之

4、间的线性比例常数;9)$S($h):曲线下降h时“过流面积”的增加量;10)W(h):“过流面积”的理想值,W(h)=kh.收稿日期:2007203201114数学的实践与认识37卷3问题分析3.1面积特性曲线保持线性的必要条件内外两个圆柱筒展开为平面,得到两个长方形,将三维空间中物体的转动问题化简为二维平面上内孔与外孔相对移动的问题,根据假设3将外筒孔近似为圆孔.建立如图1所示直角坐标系,以坐标原点为圆心的单位圆表示外孔,X轴与内、外筒的轴心平行.用任意f(x)图1曲线与圆相交求微元面积示意图表示内圆孔曲线初始位置时的一部分,另一部分与其组成封闭图形,但未画出的部分与圆不相交,如图1(

5、a)所示.[1]引理若使内孔旋转角度与“过流面积”(称为面积特性曲线)呈线性,则内孔曲线与外孔圆的交点横坐标之差必为常数k,即x3-x4=k为面积特性曲线呈线性的必要条件.证明设内孔曲线任意向下移动h,曲线为f(x)=f(x)-h,当曲线移动微元$h时,“过流面积”增加量$S由两边近似三角形和中间矩形组成,如图1(b)所示,表示为:x2$S=∫(G(x)-(f(x)-h-$h))dxx4xx31+∫(G(x)-(f(x)-h-$h))dx+∫$hdx(1)xx12若要使面积特性曲线满足线性关系,则只须使曲线的向下移动距离与“过流面积”满足线性关系,即微元面积$S与$h有线性关系:$S=k

6、$h(2)曲线与圆的交点坐标x由G(x)=f(x)(表示f(x)下降时的曲线)求得:2G(xi)=1-xi=f(xi)=f(xi)-h,i=1,2(3)2G(xi)=1-xi=f(xi)=f(xi)-h-$h,i=3,4(4)整理(1)—(4)得:g(h)2(G(x)-f(x)+h+$h)dx∫g(h)4g(h)g(h)31+(G(x)-f(x)+h+$h)dx+$hdx=k$h(5)∫g(h)∫g(h)12其中gi(h)是由(3)、(4)式算出的xi关于自变量h的表达式,i=1,2,3,4,整理(5):g(h)g(h)23(G(x)-f(x))dx+(G(x)-f(x))dx∫g(h)

7、∫g(h)41+h(g2(h)-g4(h)+g3(h)-g1(h))+$h(x3-x4)=k$h两边同时取微分,并用xi代替gi(h),整理可得:14期赵彬,等:维修线性流量阀时的内筒设计问题115dg2(h)dg1(h)(G(x2)-f(x2)+h)-(G(x1)-f(x1)+h)dhdhdg4(h)dg3(h)-(G(x4)-f(x4)+h)+(G(x3)-f(x3)+h)+(x3-x4)=kdhdh在满足$h→0条件下,根据(