维修线性流量阀时的内筒设计问题1

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1、全国第三届研究生数学建模竞赛题目维修线性流量阀时的内筒设计问题摘要：流量阀的线性流量特性是阀孔结构设计的重要控制标准，本文在分析内外筒之间的平动规律的基础上，建立了过流面积的求解模型，并采用数值方法进行模拟求解，搜索解出了满足近似严格线性误差要求的内筒孔性状及其尺寸；给出了满足要求的充分条件及有关“渐进达到完全线性”定理并加以证明；在流量阀的主要工作区范围内，进一步对比分析了不同线性区间长度、最大过流面积以及线性误差大小时的内筒孔性状及其尺寸。并讨论了外筒孔发生磨损时的相应处理方法，为线性流量阀的维修提供了参考方法。关键词：流量阀线性流

2、量特性过流面积数值模拟搜索算法渐进完全线性参赛密码参赛队号10286020（由组委会填写）符号说明：设外筒圆孔半径为1；S：“最大范围”，S；g(c)：“过流面积”，内孔与外孔相交部分的面积；：S的利用率；d：某范数（如2-范数）意义下，当100%线性总误差；d：某范数（如2-范数）意义下，随着的变化而变化的线性总误差。问题1讨论在上述阀体结构下，在“过流面积”从为零直到外筒孔面积的范围（简称“最大范围”）内，能否通过选择内筒孔形状实现“过流面积”与内筒旋转角度成严格的线性关系。如果不能，请设计内筒孔的形状，在“最大范

3、围”内，使“过流面积”与内筒旋转角近似成线性关系，同时在“最大范围”内，实际情况与严格线性关系的误差在某种意义下最小。解答：一、模型的建立1y2,x0设外孔圆方程为x=h(y)=，（1.1）21y,x0设内孔形状方程为xf(y),（1.2）且（1.1）与（1.2）相切于点（-1，0），（2）式沿x轴向右运动。方程（1.2）的旋转角度对应的区间长度为c，则（1.2）沿x轴平移后方程为xf(y)c,（1.3）y2y2设g(c)xdy[f(y)ch(y)]dy（1.4）y1y1表示相交部分（即过流面积），

4、其中yy,为（1.3）与（1.1）相交两点的纵坐标。如图1.1：12yx=f(y)+c(x1,y1)x(x2,y2)x=f(y)图1.1过流面积示意图1目标函数为：min

5、

6、g(c)kcb

7、

8、fy（1.5）2min

9、

10、[f(y)ch(y)]dykcb

11、

12、,c0,0g(c),fy1其中，k,b为常数，

13、

14、.

15、

16、表示某范数（任意范数都可以）。二、模型的解答（1.5）式是关于f的泛函，其解析解很难找到。所以，下面给出关于问题1较优解的充分条件的一些命题讨论，并给出较优方案及对应的数值解。定理1.1无论内孔形状如何，g(

17、c)与c成严格的线性关系这个命题不成立。以下给出方案一。命题1.1若内孔形状方程xf(y)的上下边界（或边界的一部分）平行于x轴（如图1.2），且进入圆时的边界与圆弧重合（称为凹部分），那么g(c)与c成严格的线性关系。证明：显然，此方程随着c每增加一个单位，g(c)都增加相同的值。命题1.2由于圆的对称性，可以设内孔形状方程也是关于x轴对称。1.2－11.2－2图1.2过流面积变化图命题1.3要使得“最大范围”（记为S）能够达到（即S的利用率达到100%），则内孔形状方程的尾部要宽于主体部分（如图1.2－1）。证明：当内孔形状

18、方程到达圆右侧边界时，此时，如果再向右平移相同距离，则g(c)的增加值S将小于前段的增加值S，两者之差dSS可以通过加宽内孔形状方程的1001尾部来弥补，让尾部与圆相交部分等于d即可（如图1.2－2）。命题1.4在命题1.1、1.2、1.3的基础上，此内孔形状方程继续沿x轴向右平移，则此时开始，g(c)与c已经不成严格的线性关系了。如果要保证S能够达到，即利用率100%，则此时d

19、

20、g(c)kcb

21、

22、将增加到某个值；如果要保证g(c)与c仍然成严格的线性关系，2则只需内孔形状方程平移到临界点处停止即可，但此时S的

23、利用率未达到100%。由命题1.3知，内孔形状方程的尾部要宽于主体部分，但是要确定尾部是什么形状，且满足线性程度最大同时S能够达到最大，很困难。本文仅考虑尾部如图1.2所示的简单情况，通过改变参数m(斜率k=2m，b=0)计算出各阶段的线性总误差d，S的利用率，参数设定如图1.3：m-1m2m-1221(1-m)2(1-m)21+3(1-m)图1.3内孔形状及尺寸设定(m为模型参数)注：（i）为了计算方便，不妨设b=0，取

24、

25、.

26、

27、为2-范数。(ii)这里有个坐标变换问题，曲线g(c)及kc+b的坐标原点位于我们建立（1.1）式时

28、的坐标系的（-1，0）点。通过变换，可以得到我们需要的线性方程：y2m(x1)（1.6）以下我们给出了当内孔形状方程的主体部分为内接矩形的情景，其中矩形的长宽是变化的，我们用m表示宽度，2m表示线性方程