2008年考研数学一真题及分析

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1、文登考研高质量高水平高信誉www.wendeng.com.cn2008年研究生入学考试数学一试题及分析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.2x（1）设函数f()xt=+∫ln2()dt，则f′(x)的零点个数为0（A）0（B）1（C）2（D）3[]【分析】本题考查变上限积分求导.2【详解】令fx′()=2ln2x()+=x0，得x=0，故选（B）.【评注】以下是变上限积分求导的推论：ϕ()x设函数f()x在[,]ab上连续，函数

2、ϕ()x可导，F()xf=∫()dtt，则aFxfx′′()=(())()ϕϕx.类似例题见08版《数学复习指南》（理工类）P84【例3.31】.x（2）函数fxy(),a=rctan在点(0,1)处的梯度等于y（A）i（B）−i（C）j（D）−j[]【分析】本题考查梯度的计算.⎛⎞xx∂∂arctanarctan⎜⎟yy【详解】gradfxy(),=+⎜⎟ij()0,1()0,1⎜⎟∂∂xy⎜⎟⎝⎠⎛⎞1x⎜⎟−2⎜⎟yy=+ij=i.⎜⎟22()0,1⎛⎞xx⎛⎞⎜⎟11++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠yy⎝⎠故选（A）.

3、∂uu∂【评注】函数ufxy=(,)的梯度为graduij=+.∂x∂y完全类似例题见08版《数学复习指南》（理工类）P302【例11.22】.x（3）在下列微分方程中，以yCC=+ecos2sxC+in2x（CCC,,是任意常数）为123123通解的是—1—文登考研高质量高水平高信誉www.wendeng.com.cn（A）yyyy′′′+−−=′′440′（B）yyyy′′′+′′++=440′（C）yyyy′′′−−+=′′440′（D）yyyy′′′−′′+−=440′[]【分析】本题已知微分方程的通解，反求微

4、分方程的形式，一般根据通解的形式分析出特征值，然后从特征方程入手.x【详解】因为yCC=+ecos2sxC+in2x（CCC,,是任意常数）为通解，123123所以微分方程的特征值为1,2±i.于是特征方程为(λλλ−1220)(−+ii)()=，即32λλλ−+−=440.故微分方程为yyyy′′′−+−=′′440′，故选（D）.【评注】本题考查微分方程解的结构.因为常系数齐次线性微分方程与其特征方程一一对应，所以本题的关键是要能够从所给的解中分析出特征方程的根.完全类似例题见08版《数学复习指南》（理工类）P14

5、4【例5.17】，文登强化班讲义《高等数学》第7讲【例9】，【例10】.（4）设函数f()x在()−∞+∞,内单调有界，{x}为数列，下列命题正确的是n（A）若{x}收敛，则f(){x}收敛（B）若{x}单调，则f({x})收敛nnnn（C）若f(){x}收敛，则{x}收敛（D）若f({x})单调，则{x}收敛[]nnnn【分析】利用单调有界数列必收敛.【详解】若{x}单调，而由题设可知函数f(x)在(−∞+∞,)内单调有界，则f(){x}单nn调有界，故收敛，故选（B）【评注】本题为基础题型.定理可见各教材和辅导讲义

6、.3（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵，若A=O，则（A）E−A不可逆，E+A不可逆（B）E−A不可逆，E+A可逆（C）E−A可逆，E+A可逆（D）E−A可逆，E+A不可逆[]3【分析】从A=O入手.332【详解】A=⇒+=⇒+OAEEAEAAEE()(−+=)，所以A+E可逆，332A=⇒−=−⇒−OAEEEAAAEE()(++=)，所以E−A可逆，—2—文登考研高质量高水平高信誉www.wendeng.com.cn故选（C）.【评注】也可这么求解：A是幂零矩阵，只有零是其特征值，所以±1不是其特征值，故E−

7、A和E+A都可逆.完全类似例题见08版《数学复习指南》（理工类）P367【例2.27】，文登强化班讲义《线性代数》第2讲【例4】.⎡x⎤⎢⎥（6）设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程()xyzAy,,=1在正交变换下的标准方⎢⎥⎢⎣z⎥⎦程的图形如图所示，则A的正特征值的个数为（A）0（B）1（C）2（D）3[]【分析】由图可看出此二次曲面为旋转双叶双曲面.222xyz【详解】旋转双叶双曲面的标准形式为−−=1，所以A的正特征值的个数为1，222abb故选（B）.【评注】本题为一道线性代数与空间解析几何的综合题，关键

8、要记住标准二次曲面的方程和图形.标准二次曲面的方程和图形见08版《数学复习指南》（理工类）P227.（7）随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F(x)，则Z=max{XY,}的分布函数为2（A）F()z（B）F(xFy)()2（C）11−−⎡⎤⎣⎦Fx()（D）⎡⎣11−−Fx()⎤⎡⎦⎣Fy()⎤⎦[]【分析】本题考查二维