江苏省南京市2017届高三数学二轮专题复习(第二层次)专题12-圆锥曲线的综合问题

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1、南京市2017届高三二轮专题（第二层次）专题12：圆锥曲线的综合问题(两课时)班级姓名一、前测训练1．（1）点A是椭圆＋＝1的左顶点，点F是右焦点，若点P在椭圆上，且位于轴上方，满足PA⊥PF，则点P的坐标为．（2）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为．答案：(1)(，)．(2)6．2．如果椭圆＋＝1的弦被点A(4，－1)平分，则这条弦所在的直线方程是．答案：y＝x－5．F1F2OxyBCA3．如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，顶点

2、B的坐标为(0，b)，连结BF2并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连结F1C.(1)若点C的坐标为(，)，且BF2＝，求椭圆的方程；(2)若F1C⊥AB，求椭圆离心率e的值.答案：（1）＋y2＝1；（2）e＝．二、方法联想1．椭圆上一个点问题（1）设点的坐标，寻找第二个方程联立方程组，通过解方程组获得解．（2）设点的坐标，利用点在曲线上可以消去一个未知数，从而转化为函数问题，消元后要注意曲线上点的坐标的范围．变式：如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为A，B，右焦点为F，点P在椭圆C上,且OP

3、⊥AF.求证：存在椭圆C，使直线AF平分线段OP.答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明)2．直线与椭圆相交于两点问题方法1已知直线与椭圆两交点中的一个，直接求出另一个点坐标；方法2设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y得关于x的方程Ax2＋Bx＋C＝0，由韦达定理得x1＋x2＝－，x1x2＝，代入已知条件所得式子消去x1，x2(其中y1，y2通过直线方程化为x1，x2)．注意：(1)设直线方程时要注意直线垂直于x轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可

4、消去x得关于y的方程．结论：弦长公式AB＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜．南京市2017届高三二轮专题（第二层次）方法3设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得通过已知条件建立x1、y1与x2、y2的关系，消去x2、y2解关于x1、y1的方程组（或方程）．方法4点差法设两点A(x1，y1)、B(x2，y2)，代入椭圆方程得两式相减得＝－×，即kAB＝－×，其中AB中点M为(x0，y0)．注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题．变式：如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率

5、为，长轴长为4.过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x2＋y2＝a2于相异两点P，Q.①若直线l的斜率为，求的值；②若＝λ，求实数λ的取值范围．答案：①；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)三、例题分析例1如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋2＝0相切．（1）求椭圆C的方程；xyOTMPQN（2）已知点P(0，1)，Q(0，2)．设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求

6、证：点T在椭圆C上．答案：（1）椭圆C的方程为＋＝1．（2）略．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．椭圆标准方程，椭圆中的离心率及椭圆的短半轴长等椭圆中的基本概念．2．直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径．3．两直线的交点．4．点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程．二、方法选择与优化建议：解法一：很自然地设出点M，N的坐标，利用两直线相交求出交点T的坐标，看它是否满足椭圆方程．解法二：可先设出点T的坐标（x，y），利用两条直线方程，把M或N点的坐标表示出来，再代入椭圆方程，得出关于x，y的方程．本题解法二的计算量相对小一点．例

7、2如图，A，B是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左右顶点，M是椭圆上异于A，B南京市2017届高三二轮专题（第二层次）的任意一点，若椭圆C的离心率为，且右准线l的方程为x＝4．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AM交l于点P，以MP为直径的圆交直线MB于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求出R点的坐标．答案：（1）椭圆C方程为＋＝1．（2）R点的坐标为（－，0）．〖教学建议〗一、主要问题归类与方法：1．椭圆标准方程，椭圆的右准线方程和离心率．2．kMAkMB＝－．3．两点式直线方程，两直线的交点，点斜式直线方程．4．直

8、径所对的圆周角是直角，互相垂直的两条直线斜率之间的关系．二、方法选择与优化建议：解析几何的解题要关注平面几何性质的运用，以简化运算．例3如图，圆O与离心率为的椭圆T：＋＝1(a＞b＞0)相切于点M(0，1)．⑴求椭圆T与圆O的方程;⑵过点M引两条互相垂直的两直线