经典光线力学与量子光线力学

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1、经典光线力学与量子光线力学1.经典光线力学根据费马原理（1）采用直角坐标系描述光传输线元，并假设光线沿着轴传输。这样有关系式：。其中，。传输介质折射率为。将带入费马原理公式之中，可以得到：（2）其中。（2）式与经典力学中的哈密顿最小作用原理形式上相同。区别只是在用代替了。（2）式称为经典光线力学的哈密顿最小作用原理。为了建立光线力学的哈密顿方程，引入广义坐标和广义动量：。（3）定义光线力学的哈密顿函数为（4）这样可以建立光线哈密顿正则方程：，。（5）求得哈密顿函数为（6）这个函数恰好与静止质量的粒子的相对论能量（7）相似。考虑到近轴条件，或，通过级数展开（6）式简化为（8）比较（9）十分相

2、似。可见在光线力学中与质点力学中的非相对论近似相应的理论是旁轴近似理论。比较（8）和（9）式可以看到光线力学比质点力学低了一维。粒子势能为折射率所替代。在旁轴条件下折射率可以表示为，带入（8）式则连势能项的符号都一致。在此基础上建立光线光学的程函方程（eikonal(光程函数)equation）,只需写成哈密顿-雅克比方程便可。考虑到质点力学中的哈密顿-雅克比方程（10）依据前面的作法，将时间变量变为，并降低一维:(11)平方上式，并利用（6）可以得到（12）这就是程函方程。致此我们得到了经典光线力学的全部基本概念和方程。2.量子光线力学的基本问题（1）量子光线力学中的普朗克常数引入量子光

3、线力学中的普朗克常数，是真空中的光波长。由于力学中的时间坐标由传播方向代替，因此的量纲不在是能量乘时间，而是哈密顿乘长度。量子力学中一个著名的理论是当时便过度到经典力学。相应的当时，便过度到经典光线力学。由于等价于，而由波动方程推导出来的程函方程恰好在成为精确公式。光线光学只是波动光学的一个近似。也就是不能由费马原理得到波动方程。（2）量子光线力学中物理量的算符化和本征方程在经典光线力学的基础上进行量子化的重要过程是物理量的算符化（a）坐标：（b）动量：（13）（c）非相对论哈密顿：。（14）（d）相对论哈密顿（15）将哈密顿算符（14）式作用到波函数上，并利用（6）和（13）式可以得到量

4、子光线力学中的克莱因-戈登方程。（16）这样我们可以使用量子力学的所有熟知的结论并将之用到光线量子力学之中，如方程的本征值为光线力学可测量物理量的可能测量值。而本征函数的模方则为本征值的取值几率。通过解能量和动量的本征方程，可知：（1）能量本征值与波的传播常数成正比：，将此与质点量子力学相应结果比较可知，普通量子力学中的频率与量子光线力学中的传播常数所代替。动量算符的本征态为平面波，光线的动量相当于光线的斜率。（2）量子光线力学中的测不准关系量子光线力学中的对易关系（17）再根据可以推导出测不准关系（18）若光线的状态是动量算符的本征态（平面波），对光线斜率的每次测量都会得到确定的值。但无

5、法知道光线的位置。平面波充满整个空间。但当光线经过一个很小的狭缝时，光线的位置是确定的，但是其动量则无法确定。