第11讲平面向量的概念及线性运算

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1、第11讲平面向量的概念及线性运算知识归纳1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．(4)平行向量：通过有向线段的直线，叫做的基线，如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．故共线向量的方向相同或相反．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．(7)用向量表示点的位置：给定点O和向量a，过点O作有向线段＝a，则点A相

2、对于O的位置被a唯一确定，叫做点A相对于点O的位置向量．2．向量的表示方法(1)字母表示法，如：a，等．(2)几何表示法：用一条有向线段表示向量．(3)代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量的起点O在坐标原点，终点坐标为(x，y)，则(x，y)称为的坐标，记为＝(x，y)．3．向量的线性运算(1)加法①法则A:三角形法则：已知向量a、b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，则＝a＋b叫做a与b的和．B:平行四边形法则：已知向量a、b，在平面上任取一点A，作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，则＝a＋b为向量a与b的和．C:多个

3、向量和的多边形法则:8已知向量a1、a2、…、an，在平面上任取一点A，作＝a1，＝a2，…，An－1An＝an，则＝a1＋a2＋…＋an为向量a1、a2、…、an的和．②运算性质：a＋b＝b＋a(交换律)；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(结合律)；a＋0＝0＋a＝a.③加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示(2)减法①三角形法则：已知向量a，b，在平面上任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.②减去一个向量等于加上这个向量的相反向量．(3)实数与向量的积①定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.1°

4、λa

5、＝

6、λ

7、

8、a

9、；2°当λ

10、>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.②运算律：设λ，μ∈R，则：1°λ(μa)＝(λμ)a；2°(λ＋μ)a＝λa＋μa；3°λ(a＋b)＝λa＋λb.4．平行向量基本定理：如果a＝λb，则a∥b；反之，如果a∥b，且b≠0，则一定存在唯一一个实数λ使a＝λb.与a同向且长度为1的向量，叫做a的单位向量，记作a0，a0＝.8误区警示(1)数量与向量不同，数量只有大小，向量既有大小又有方向，数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才可以比较大小．(2)平行向量与相等向量有区别，向量平行是向

11、量相等的必要条件．相反向量大小相等，方向相反．(3)0≠0，区别在于一个是向量，一个是标量．(4)向量有起点、终点、方向；而线段都没有，只有端点．(5)两个向量平行的充要条件：若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.若a与b是两个非零向量，则它们共线的充要条件是存在两个均不是零的实数λ、μ，使λa＋μb＝0.应特别注意非零条件的限制，要注意向量平行与直线平行的区别，向量平行包括基线重合的情形．(6)向量加法的三角形法则与多边形法则，要点是“首尾相接、首指向尾”．向量减法的三角形法则，必须满足起点相同这个条件，其规则是“同始连终，指向被减”

12、．方法技巧一、“数形结合”思想数形结合是求解向量问题的基本方法．向量加法、减法的几何意义，充分体现了数形结合思想．二、方程思想在向量中的应用在向量的平行与垂直、向量的共线、向量的长度与夹角等问题中，常常要依据条件列方程求解．利用共线条件和平面向量基本定理，是应用的难点．8典例讲练平面向量的基本概念[例1]　给出下列命题：①a＝b的充要条件是

13、a

14、＝

15、b

16、且a∥b；②若向量a与b同向，且

17、a

18、>

19、b

20、，则a>b；③由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；④若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；⑤起点不同，但方向相同且模

21、相等的几个向量是相等向量；⑥任一向量与它的相反向量不相等．其中真命题的序号是________．点评：解答向量的基本概念问题时，要特别注意向量概念中的一些特殊情形和向量的特征：如“向量相等，不仅要大小相等，还要方向相同”；零向量与任一向量平行；向量平行与直线平行的区别，等等．⑴在四边形ABCD中，＝，且

22、

23、＝

24、

25、，那么四边形ABCD为(　　)A．平行四边形　　　　B．菱形C．长方形D．正方形⑵已知向量＝a，＝b，＝c，则A，B，C三点构成△ABC是a＋b＋c＝0的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

26、向量的线性表示平行四边形OADB的对角线交点为C，＝，＝，＝a，＝b，用a、b表示、、.8如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA