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《测度论讲义(任佳刚)-(2)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。
1、1前言x1.1动力想起来是那样遥远――从Lebesgue发表他的建立我们现在所称的Lebesgue测度与积分的几页纸的划时代的论文算起,整整一百年过去了.一百年春风秋雨,一百年春华秋实,Lebesgue的工作经受住了时间和实践的检验――这个当年虽然茁壮但却幼小的禾苗长成了枝繁叶茂的大树――它的枝叶荫及了现代数学中的许多领域.回望来路,我们可以看到许多大大小小的数学家在树下辛勤劳作的身影;瞻望未来,它将长久地为后来者提供庇荫.人们为什么需要它?有无穷多条理由.我们只要看一下概率论的情况就可以了.初等概率论中有许多没有严格证明的结论。例如,我们都学过下面这个结论：设»为一连续型
2、随机变量，分布密度为f,则对于任意Borel可测函数F,F(»)也为随机变量且ZE[F(»)]=F(x)f(x)dx:但一般教科书并没有给出这个结论的证明,因为只凭初等概率的知识是无法证明的.再如，我们学过独立随机变量序列的种种性质，但却忽略”了一个基本问题：这种序列是否存在？如果它们根本就不存在的话，我们所学的一切岂不是全是空中楼阁？当然这并不是粗心所造成的忽略，而是在初等概率论中，根本就无法回答这些问题。而有了测度论,就可以回答这些问题.当然,历史的发展证明,测度论对概率论的作用远不止于此.实际上，整个现代概率论的基础，全是建立在测度论基础之上的。这一工作是20世纪3
3、0年代由上世纪最伟大的科学家之一――前苏联数学家Kolmogorov完成的.高等概率论这门课的主要内容，就是测度论.x1.2计划这本书主要是写给概率统计方面的研究生的入门教材和研究人员的参考书.它无意成为一部内容齐全的辞书，内容的选取无疑地是受到作者本人的经验的影响的.2集类与可测性x2.1基本术语我们已经知道了集合论的基本概念，也知道了下列运算：11、并：E1[E2;[i2IEi2、交：E1E2;i2IEi以后我们还要经常用到以下概念。3、特征函数1E(x)=1ifx2E;0ifx=2E:集合与其特征函数相互唯一确定。现在设X为一集合，En½X,n=1;2;¢¢¢.4
4、、上极限limsupEn:=fx2X:9无穷多个n使x2Engn=x2X:8n;9k¸n使x2Ek11==1[k=nEk:5、下极限liminfEn:=fx2X:只有有穷多个n使x=2Engn=x2X:9n;8k¸nx2Ek11=[n=1k=nEk:6、极限若limsupnEn=liminfnEn，则称极限存在，且记为：limnEn.7、单调列若8n,En½En+1,则称为单调上升列,记为En".此时limnEn=[nEn.若8n,En¾En+1,则称为单调下降列,记为En#.此时limnEn=En.8、余集cccE:=fx:x=2Eg;E½F,E¾F:9、DeM
5、organ原理cccc([i2IEi)=i=1Ei;(i2IEi)=[i=1Ei:F¡[i2IEi=i=1(F¡Ei);(F¡i2IEi)=[i=1(F¡Ei):10、差2cE¡F:=EF:11、对称差EMF:=(E¡F)[(F¡E):12、运算法则AB=BA;A[B=B[A(A[B)C=(AC)[(BC)(AB)[C=(A[C)(B[C)(AB)C=A(BC)(A[B)[C=A[(B[C)[i2IAi¡B=[i2I(Ai¡B)x2.2常用集类我们考虑问题时，总会局限在一定的范围内。随着问题的变化，这个范围也会变化。但当一个问题确定下来后，这
6、个问题一般也会随之确定下来。这样的一个范围，我们叫它空间，或有时为了强调其大而称为全空间。例如，我们考虑一维问题时，这个空间是R1；考虑n维问题时，它是Rn，等等。以后如不特别申明，我们都假定已预设了这样一个全空间：一切元素、子集等都是这个空间的。我们暂时用X表示这个空间.由X的某些子集所构成的集合称为集类。我们以后要研究的集类全都满足某种运算性质.第一种集类是:环.定义2.2.1.设R为非空集类。若E;F2R)E[F;E¡F2R;则称R为环。注：8环R,;2R.(*;=E¡E2R).什么是环？例2.2.2.：设X是一集合，则X的所有有限子集构成的集类是环。例2.2.3.：
7、R:=f[n[a;b);n=1;2;¢¢¢;¡1
