matlab数学软件结课论文-高等应用数学问题的matlab求解_差分方程求解

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1、高等应用数学问题的MATLAB求解差分方程求解成员：汪志成09102211齐党松09102218冯子华09102219李良09102220罗文09102221向业川09102226学院：理学院专业：信息与计算科学指导老师：刘唐伟时间：2011年11月26日在MATLAB中差分方程的迭代求解数学类课程当中，我们所学习的变量基本上是属于连续变化的类型。在工程、经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，信号的输入与输出，银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等等。通常称这类变量为离散

2、型变量。对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等。描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型.。求解这类模型就可以得到各离散型变量的运行规律。由于计算机技术的蓬勃发展，使得差分方程的应用获得了非常广阔的发展前景。本文通过介绍差分方程在经济领域、动力系统和生态系统等多方面的应用，着重培养学生应用差分方程建立数学模型解决实际问题的能力。一、差分的概念与性质dy一般地，在连续变化的时间范围内，变量y关于时间t的变化率是用来刻dty画的；对离散型的变量y，我们常取在规定的时间区间上的差商来刻画变量y

3、t的变化率.如果选择t1，则yy(t1)y(t)可以近似表示变量y的变化率.由此我们给出差分的定义。定义(1)设函数yy(t)称改变量yy为函数y的差分，也称为函数ytt1ttt的一阶差分，记为y，即tyyy或y(t)y(t1)y(t)tt1t.2一阶差分的差分称为二阶差分y，即t2y(y)yy=(yy)(yy)y2yyttt1tt2t1t1tt2t1t类似可定义三阶差分，四阶差分，……3243yt(yt),yt(yt),n一般地，

4、函数yt的n1阶差分的差分称为n阶差分，记为yt，即nnn1n1iiytyt1yt(1)Cnytnii0二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。（一）差分的性质：（1）(Cy)Cy(C为常数)；tt（2）(yz)yz；tttt（3）(yz)zyyz；ttttt1tyzyyzttttt（4）(z0)。tzzztt1t（二）差分方程的概念定义(2)含有未知函数yt的差分的方程为差分方程.差分方程的一般形式:2nF(t,y,y,y,,y)0

5、或G(t,y,y,y,,y)0tttttt1t2tn差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶。差分方程的不同形式可以互相转化。定义(3)满足差分方程的函数称为该差分方程的解。如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数，则称这个解为该差分方程的通解，我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件，满足初始条件的解称为特解，定义(4)若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的，则称该差分方程为线性差分方程。线性差分方程的一般形式是yt

6、na1(t)ytn1an1(t)yt1an(t)ytf(t)其特点是ytn,ytn1,,yt都是一次的。（三）一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式为yPyf(t)（1）t1t其中，P为非零常数，f(t)为已知函数.如果f(t)0,则方程变为yPy0（2）t1t方程(2)称为一阶常系数线性齐次差分方程，相应地，方程(1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程。**定理(1)设yt为方程(2)的通解，yt为方程(1)的一个特解，则ytytyt为方程(1)的通解.(1)f(t)

7、C(C为非零常数)；t(2)f(t)Cb(C,b为非零常数且)。（四）二阶常系数线性差分方程二阶常系数线性差分方程的一般形式:yaybyf(t)（3）t2t1t其中a,b均为常数，且b0,f(x)是已知函数.当f(x)0时，方程(3)变为yayby0（4）t2t1t方程(4)称为二阶常系数线性齐次差分方程，相应地,方程(3)称为二阶常系数线性非齐次差分方程。**定理(2)设yt为方程(4)的通解，yt为方程(3)的一个特解，则ytytyt为方程(3)的通解。二阶常系数线性齐次差分方程的通解，特征方程为

8、2ab0（5）二阶常系数线性非齐次差分方程的特解和通解。仅考虑方程(3)中的f(x)取某些特殊形式的函数时的情形。*kf(x)Pm(t)(其中Pm(t)是t的m次多项式)，方程(3)具有形如yttRm(t)的特解，其中Rm(t)为t的