2014年数学建模竞赛论文-创意平板折叠桌

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1、创意平板折叠桌摘要创意平板折叠桌设计巧妙，既能使桌子以自然的方式打开，又能轻松的折叠成平板模式，极大的提升运输效率和方便家居收纳。针对折叠桌的设计原理，我们建立了空间几何变换模型、单目标规划模型利用MATLAB软件对以下内容作一定程度的分析和研究：针对问题一，我们建立了空间几何变换模型，设计MATLAB程序以最外侧桌腿旋转角度为自变量得到桌子展开过程的变动曲面，输出最外侧桌腿旋转角为1.2798rad（桌子完全展开时最外侧桌腿倾斜角度）时的桌脚边缘线及20条桌腿的开槽长度（见表4）。针对问题二，我们首先以长方形平板的尺寸、桌腿宽度、钢筋位置为决策变量，以产品

2、稳固性、加工难易程度、用材量为目标函数，建立多目标规划模型，然后通过加权系数法，把多目标模型转化成单目标规划模型。对于长方形平板宽度为80cm，桌子高度为70cm的情形，结合问题一空间几何变换模型，设计MATLAB程序得出最优设计加工参数，长方形平板尺寸为166cm*80cm*3cm，钢筋位于距离长方形平板宽边为33.48cm的位置，桌腿宽度为2.5cm，桌腿木条开槽长度见表6。针对问题三，首先根据客户对桌高和桌面直径的要求依据模型二确定钢筋位置、开槽长度、桌腿宽度以及最外侧桌腿的长度，然后根据客户提供的桌脚边缘线在竖直平面内的投影曲线得到各桌脚距地面的高度

3、，在对桌腿倾斜状态进一步分析后，得到桌腿的实际最终长度。最后依据模型三，设计了两种尺寸不同的创意平板桌，相应的设计加工参数以及动态变化图见表7、表8，以及图6~图16。关键词：MATLAB程序；CAD软件；直纹曲面；结构稳固性；设计加工参数；单目标规划；桌脚边缘线。11.问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。建立数学模型讨论下列问题：1.

4、给定长方形平板尺寸为120cm×50cm×3cm，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53cm。建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数(例如，桌腿木条开槽的长度等)和桌脚边缘线的数学描述。2.折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70cm，桌面直径80cm的情形，确定最优设计加工参数。3.公司计划开发一种折叠桌设计软件

5、，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。2.模型假设(1)假设桌腿木条的空槽与钢筋之间的摩擦力极小，可忽略不计；(2)基于各桌腿切割时，桌腿之间间隙极小，忽略间隙对桌腿条数的影响；(3)假设长方形平板的厚度为3cm时，为该平板折叠桌的最合理厚度值；(4)基于各桌腿在桌子展开过程中存在一

6、定的间隙，桌腿之间的摩擦力极小，忽略桌腿之间的摩擦力。23.通用符号说明序号符号符号说明1a长方形平板的长度2b长方形平板的宽度3d桌腿宽度4w圆桌面木条宽度的一半5h折叠桌高度6l桌腿长度7最外侧桌腿倾斜角8G桌腿木条的开槽长度9i不同的设计方案10n圆桌面、桌腿木条序号11N最外侧桌脚之间的距离12M桌腿切割次数钢筋位置距离桌腿上端的距离与桌13腿长度的比4.问题一模型的建立与求解4.1问题分析本题要求建立模型描述折叠桌的动态变化过程，并在此基础上给出折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。我们拟建立坐标系，得出各桌脚边缘点的坐标，设计MATLA

7、B程序，在折叠桌展开过程中，依据最外侧桌腿旋转角度的变动对桌子展开过程进行动态分析，最外侧桌腿木条每旋转0.01rad，记录一次所有桌腿边缘点的坐标，直至旋转至最终停止位置时的最外侧桌腿倾斜角度，即为桌子展开的动态变化过程。其中桌腿旋转角度的变化范围为0至桌子完全展开时最外侧桌腿木条的倾斜角度，可通过桌腿长度及桌子高度确定。然后通过MATLAB程序输出最终停止位置的桌脚边缘线。其中，桌脚边缘点坐标的得出需要各桌腿的参数值，拟通过分析桌子的动态展开过程，即桌腿的空间几何位置变换，建立空间几何变换模型，按照下述步骤对桌腿的各种参数进行求解，最终建立模型。以求取最

8、终停止位置桌脚边缘点坐3标为例，首先我们根据给定的长