一元线性回归模型下

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1、第六章一元线性回归模型（下）总体回归函数：Yi=B1+B2Xi+ui估计的样本回归函数：i=49.667–2.5176Xi问题：OLS得出的估计回归直线的“优度”如何？即怎样判别它确实是真实的总体回归函数的一个好的估计量呢？6.1古典线性回归模型的一些基本假定为什么对ui做一些假定？Yi依赖于Xi与ui，假设Xi值是给定的或是已知的，是以给定X为条件（条件回归分析），而随机误差项u是随机的。由于Y的生成是在随机误差项(u)上加上一个非随机项(X)，因而Y也就变成了随机变量。只有假定随机误差项是如何生成的，才能判定样本

2、回归函数对真实回归函数拟合的好坏。因此必须对ui的生成做一些特殊的假定：6.1.1解释变量(X)与扰动误差项不相关。如果X是非随机的，则该假定自动满足。（回忆：条件回归分析是以给定X值为条件的。）6.1.2扰动项的期望或均值为零。E(ui)=0(6-1)平均地看，随机扰动项对Yi没有任何影响，也就是说，正值与负值相互抵消。156.1.3同方差假定，即每个ui的方差为一常数。Var(ui)=(6-2)可简单地理解为,与给定X相对应的每个Y的条件分布同方差；即每个Y值以相同的方差分布在其均值周围，否则称为异方差。提问：u

3、i的(条件)方差等于Yi的(条件)方差吗？Yi=B1+B2Xi+ui由于X值是假设给定的或是非随机的，因此Y中惟一变化的部分来自于u。因此，给定Xi，ui与Yi同方差。6.1.4无自相关(noautocorrelation)假定，即两个误差项之间不相关。cov(ui,uj)=0i≠j(6-3)i和j表示任意的两个误差项。假定6.1.4表明两误差项之间没有系统的关系。推理因为cov(ui,uj)=E{[ui-E(ui)][uj-E(uj)]}=E(uiuj)-E(ui)E(uj)=0所以E(uiuj)=0如果某一个误差

4、项u大于（小于）其均值，并不意味着另一个误差项也在均值之上（下）。简言之，无自相关假定表明误差项ui是随机的。156.1.5在总体回归函数Yi=B1+B2Xi+ui中，误差项ui服从均值为零，方差为的正态分布，即ui~N(0，)(6-4)以上5个条件为经典假设条件。6.2普通最小二乘法估计量的性质（为什么要采用OLS？）OLS法得到广泛的使用，因为它有一些理想的理论性质，即OLS估计量是最优线性无偏(BestLinearUnbiasedEstimator,BLUE)估计量。简言之，OLS估计量b1和b2满足：(1)线

5、性；即b1和b2是被解释变量Y的线性函数。（是不是X的线性函数？）证明:因为由于15所以，设说明是的线性函数，是以为权的一个加权平均。(2)无偏性；即E(b1)=B1E(b2)=B2E()=平均而言，b1和b2将与B1和B2真实值相一致，将与真实的相一致。（尽管大多数情况下我们并不知道B1和B2的真实值）先了解的一些性质：1.因为假定为非随机（给定）的，所以也是非随机（给定）的。2.，给定一个样本，已知，可作为常量，因此。3.因为4.（显而易见）15证明:将整体回归方程代入，得对两边求数学期望值，因为可以看作常量，所

6、以因为已经假定。(3)最小方差性。即b1、b2的方差小于其他任何一个B1、B2的无偏估计量的方差。（证明过程略，详见古扎垃蒂，《计量经济学》，第三版上册，P84－85）根据以上性质，如果使用OLS法，将能够更准确地估计B1和B2，虽然其他的方法也能得到B1和B2的线性无偏估计量。6.3估计量的方差与标准差由于随机误差项服从正态分布，OLS估计量也是随机变量。（回顾，设，。由于给定的，可以看作常量。）可以得到估计量的方差及标准差：15var(b1)(6-5)其中se(b1)=(6-6)var(b2)=(6-7)计算过程

7、var(b2)=E[b2-E(b2)]2因为，得=E[b2-B2]2因为，得=E因为对每一,，并且对,（回忆）se(b2)=(6-8)15一旦知道了，可以求得OLS估计量的方差与标准差。但在通常情况下，是未知的，可以用样本方差来代替，由下式来估计：(6-9)是残差平方和(RSS)，即Y的真实值与估计值的差的平方和，(n－2)称为自由度。证明：因此，（1）（2）（2）－（1）得由于（3）（见第五章的证明过程）（3）－（2）得归并项，平方，整理得两边去数学期望值得是真实的一个无偏估计量。（为什么）15按照经典线性会规模型

8、的以及前面的一些结论，可得（例如，具体见赵国庆《计量经济学》第二版，P22－23）代入上式，得定义其期望值是：因此，是真实值的一个无偏估计量。同时(6-10)即正的平方根称为估计值的标准差或是回归标准差，它是Y值偏离估计的回归直线的标准方差。炒栗子一例中的方差和标准差15利用上述公式，计算方差及标准差，见表6–1。(6-11)se=(0.746